導語：數(shù)學哲學革命研究論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

【內(nèi)容提要】在脫離了基礎(chǔ)主義的研究以后，數(shù)學哲學進入了一個新的發(fā)展時期，來自科學哲學的影響就是促成這一發(fā)展的重要因素之一，并事實上導致了數(shù)學哲學研究中一個新的研究范式。由于新方向上的研究在研究問題、研究方法，基本立場和主要觀念上，都已發(fā)生了質(zhì)的變化，這也就清楚地表明了數(shù)學哲學現(xiàn)展的革命性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】科學哲學/數(shù)學哲學/數(shù)學哲學的革命

【正文】

本文有兩個互相關(guān)聯(lián)的目標：第一，對科學哲學對于數(shù)學哲學現(xiàn)展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學進行比較，從而清楚地指明數(shù)學哲學現(xiàn)展的革命性質(zhì)。

一、從一些具體的研究談起

如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數(shù)學哲學研究的黃金時代：在這一時期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數(shù)學基礎(chǔ)問題進行了系統(tǒng)和深入的研究，并發(fā)展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數(shù)學觀，從而為數(shù)學哲學的研究開拓出了一個嶄新的時代，其影響也遠遠超出了數(shù)學的范圍，特別是，基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學曾對維也納學派的科學哲學研究產(chǎn)生了十分重要的影響，而后者則曾在科學哲學的領(lǐng)域長期占據(jù)主導的地位。

然而，在四十年代以后，上述的情況發(fā)生了重要的變化。盡管邏輯主義等學派作出了極大的努力，他們的研究規(guī)劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經(jīng)歷了所說的“黃金時代”以后，數(shù)學哲學的發(fā)展就一度“進入了一個悲觀的、停滯的時期”；與數(shù)學哲學的困境相對照，科學哲學則已逐步擺脫邏輯實證主義的傳統(tǒng)進入了一個欣欣向榮的、新的發(fā)展時期。也正因為此，科學哲學的現(xiàn)展就對數(shù)學哲學家產(chǎn)生了巨大的吸引力，并對數(shù)學哲學的現(xiàn)展產(chǎn)生了十分重要的影響。

就科學哲學對于數(shù)學哲學現(xiàn)代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個先驅(qū)，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學哲學推廣應(yīng)用到了數(shù)學的領(lǐng)域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨立的分析與深入的研究，因為在數(shù)學與一般自然（經(jīng)驗）科學之間顯然存在有重要的質(zhì)的區(qū)別。

為了使得由科學哲學中所吸取的觀念、概念、方法等確實有益于數(shù)學哲學的研究，最好的方法就是集中于相應(yīng)的研究問題，也即是希望通過以科學哲學領(lǐng)域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數(shù)學哲學中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數(shù)學研究綱領(lǐng)方法論的發(fā)展”就以拉卡托斯的科學哲學理論，也即所謂的“科學研究綱領(lǐng)方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關(guān)注的則是數(shù)學的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學研究綱領(lǐng)方法論相類似的數(shù)學發(fā)展的方法論準則”，Hallett的實際工作卻與拉卡托斯的科學哲學理論表現(xiàn)出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認識到：“數(shù)學與經(jīng)驗科學之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學可以依賴于不斷增加的事實性命題，但是數(shù)學中卻不存在這樣的對應(yīng)物?！币虼?，在Hallett看來，相應(yīng)的科學方法論準則（即新的理論能作出某些預言，這些預言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數(shù)學的領(lǐng)域。

與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設(shè)性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數(shù)學進步的準則。Hallett并指出，這一準則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應(yīng)思想的一種改進。從而，這就確實不能被看成對于科學研究綱領(lǐng)方法論的直接推廣。

在數(shù)學哲學領(lǐng)域內(nèi)我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關(guān)于科學哲學領(lǐng)域中的思想或理論對于數(shù)學哲學“可應(yīng)用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數(shù)學：關(guān)于數(shù)學的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應(yīng)用到數(shù)學時，應(yīng)當首先考慮兩個問題：第一，“在數(shù)學中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數(shù)學編年史的研究是否有確定的、富有成果的應(yīng)用？”

顯然，即使前一個問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨立的研究，因為，這不僅涉及到了對庫恩理論的評價，而且也直接依賴于關(guān)于應(yīng)當如何去從事數(shù)學哲學（和數(shù)學史）研究的基本思想。

正是從這樣的立場出發(fā)，Mehrtens提出：“盡管（數(shù)學中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機’的現(xiàn)象，我對這兩個概念持否定的態(tài)度，因為，它們并不能成為歷史研究的有利工具?！?/p>

當然，上述的結(jié)論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態(tài)度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學共同體”這兩個概念對于數(shù)學史（和數(shù)學哲學）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學共同體的社會學概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們?yōu)閿?shù)學編年史提供了關(guān)鍵的概念?！?/p>

上述的批判態(tài)度和深入分析顯然表明了一種獨立研究的態(tài)度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進步。作為這種進步的又一實例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數(shù)學哲學研究。

一般地說，基切爾在數(shù)學哲學領(lǐng)域內(nèi)的工作主要就是將庫恩的科學哲學理論推廣應(yīng)用到了數(shù)學之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關(guān)于科學活動社會—文化性質(zhì)的分析等。另外，基切爾所主要關(guān)注的則是數(shù)學歷史發(fā)展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發(fā)，基切爾首先考察了什么是數(shù)學變化的基本單位?；袪枌懙溃骸耙粋€首要的任務(wù)，就是應(yīng)當以關(guān)于數(shù)學變化單位的更為精確的描述去取代關(guān)于‘數(shù)學知識狀況’的模糊說法。這一問題與關(guān)注科學知識增長的哲學家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認為，在這兩種情形中，我們都應(yīng)借助于一個多元體，也即由多種不同成分所組成的實踐（practice）的變化，來理解知識的增長?！?/p>

在基切爾看來，后者事實上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業(yè)質(zhì)基”）的各個成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價值觀”、“范例”等）在數(shù)學中的對應(yīng)物，而是對“數(shù)學實踐（活動）”的具體內(nèi)容作出了自己的獨立分析。基切爾提出，“我以為我們應(yīng)當集中于數(shù)學實踐的變化，并把數(shù)學實踐看成是由以下五個成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認為是重要的問題，和元數(shù)學觀念?！憋@然，這即是對庫恩基本思想的創(chuàng)造性應(yīng)用。

其次，基切爾又具體地指明了若干個這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數(shù)學實踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個重要區(qū)別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉(zhuǎn)變當然也是批判性的立場和獨立思考的直接結(jié)果。

二、新方向上研究的共同特征

盡管在新方向上工作的數(shù)學哲學家有著不同的研究背景和工作重點，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點，后者事實上更為清楚地表明了來自科學哲學的重要影響。

1.對于數(shù)學經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性的肯定

所謂數(shù)學的經(jīng)驗性，就其原始的意義而言，即是對數(shù)學與其它自然科學同一性（analogy，或similarity）的確認。這一認識事實上構(gòu)成新方向上所有工作的共同出發(fā)點。

關(guān)于數(shù)學經(jīng)驗性的斷言顯然正是對于傳統(tǒng)觀念的直接否定，即數(shù)學知識不應(yīng)被看成無可懷疑的絕對真理，數(shù)學的發(fā)展也并非數(shù)學真理在數(shù)量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數(shù)學從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了?！?/p>

事實上，人們曾從各種不同的角度對數(shù)學與自然科學的同一性進行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結(jié)構(gòu)的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經(jīng)驗性的肯定事實上也可被看成關(guān)于數(shù)學的社會—文化觀念（這是在新方向上工作的數(shù)學哲學家所普遍接受的）的一個直接結(jié)論。這就是說，如果數(shù)學與其它自然科學一樣，最終都應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動，并構(gòu)成了整個人類文化的一個有機組成成分，那么，數(shù)學的發(fā)展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復雜過程，而且，“數(shù)學的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實際利益與其它科學的認識論目標所決定的。”

其次，如果說數(shù)學的經(jīng)驗性集中地反映了數(shù)學與其它自然科學的同一性，那么，對于數(shù)學擬經(jīng)驗性（quasi-empirical）的強調(diào)則就突出地表明了數(shù)學的特殊性。

具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個問題：除去在實際活動中的成功應(yīng)用外，就數(shù)學理論而言，是否還存在其它的判斷標準？另外，擬經(jīng)驗的數(shù)學觀的核心就在于明確肯定了數(shù)學有自己特殊的價值標準，這就是新的研究工作對于數(shù)學自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進等。顯然，后者事實上也就是實際數(shù)學工作者真實態(tài)度的一個直接反映。例如，美國著名數(shù)學家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數(shù)學各個領(lǐng)域中的進步包括兩個互補的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結(jié)果的理解。”

由此可見，我們就應(yīng)同時肯定數(shù)學的經(jīng)驗性和擬經(jīng)驗性。顯然，就本文的論題而言，這事實上也就表明了：為了在數(shù)學哲學的研究中取得實質(zhì)性的進展，我們不僅應(yīng)當保持頭腦的開放性，也即應(yīng)當努力從科學哲學中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時也應(yīng)高度重視數(shù)學的特殊性，即在一定程度上保持數(shù)學哲學的相對獨立性。

2.對于數(shù)學方法論的高度重視

理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學哲學現(xiàn)展的一個重要特點；與此相對照，理性主義的立場在數(shù)學哲學領(lǐng)域中卻似乎沒有受到嚴重的挑戰(zhàn)，但是，后者并不意味著現(xiàn)已存在某種為人們所普遍接受的關(guān)于數(shù)學發(fā)展合理性的理論，恰恰相反，后一目標的實現(xiàn)還有待于長期的努力。

然而，在這一方面確已取得了一定的進步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現(xiàn)今人們普遍地更加重視對那些源自科學哲學的概念、觀點和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現(xiàn)已認識到，對于數(shù)學的社會—文化性質(zhì)的確認，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數(shù)學歷史發(fā)展合理性的同時，人們也認識到了這種發(fā)展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會化建構(gòu)的，……即包括有一個社會協(xié)商的過程。”從而，在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發(fā)，格拉斯提出，我們應(yīng)對庫恩和拉卡托斯的理論進行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應(yīng)當用像庫恩那樣的社會和歷史的觀點予以補充和平衡?！?/p>

值得指出的是，這種整合的立場事實上也就是科學哲學現(xiàn)展的一個重要特點，特別是，這即是科學哲學領(lǐng)域中所謂的“新歷史主義學派”所采取的一個基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發(fā)展出關(guān)于科學發(fā)展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學哲學對于數(shù)學哲學現(xiàn)代研究的重要影響。

艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數(shù)學哲學應(yīng)當關(guān)注與那些研究人類知識其它領(lǐng)域（特別是，自然科學）同一類型的問題。例如，哲學家們應(yīng)當考慮這樣的問題：數(shù)學知識是如何增長的？什么是數(shù)學進步？是什么使得某一數(shù)學觀點（或理論）優(yōu)于其它的觀點（或理論）？什么是數(shù)學解釋？”特別是，“數(shù)學在其發(fā)展中是否遵循任何方法論的原則？”事實上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數(shù)學方法論作出恰當?shù)恼f明就構(gòu)成了在新方向上工作的數(shù)學哲學家的核心問題。顯然，這一立場也是與現(xiàn)代科學哲學中對于科學方法論的高度重視完全一致的。

3.對于數(shù)學史的強調(diào)

如眾所知，對于科學史的突出強調(diào)也是科學哲學現(xiàn)代研究的一個重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學哲學長期為邏輯實證主義所支配，后者認為科學史是與他們的研究毫不相關(guān)的；但是，這種形勢現(xiàn)在已經(jīng)有了改變……科學哲學家們現(xiàn)已認識到了歷史研究的重要性?！边@就是說，“如果沒有給予科學史應(yīng)有的重視，科學性質(zhì)的分析就是不可能的?！笨茖W哲學的上述變化對在新方向上工作的數(shù)學哲學家也產(chǎn)生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據(jù)了十分重要的位置?？梢哉f歷史方法事實上已成為數(shù)學哲學現(xiàn)代研究的基本方法之一。

作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。

這些編輯者的一個共同特點是，他們不僅認為數(shù)學方法論的任一理論都應(yīng)用歷史的案例加以檢驗，而且更大力提倡數(shù)學史家與數(shù)學哲學家的密切合作，并認為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個信念，即數(shù)學哲學的重要論題可以由哲學家與歷史學家的有組織對話得到啟示?！覀兿Ｍ麣v史的材料能在數(shù)學哲學家那里獲得更為深入和系統(tǒng)的應(yīng)用；同樣地，我們也希望哲學家由歷史所激發(fā)的思考能給歷史學家提供新的問題和思想?！憋@然，這種態(tài)度與傳統(tǒng)的把數(shù)學哲學與數(shù)學史絕對地分割開來的作法是截然相反的。

最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數(shù)學史之上的數(shù)學哲學”。具體地說，相關(guān)的數(shù)學哲學家在此所希望的就是能發(fā)展出關(guān)于數(shù)學知識的這樣一種理論，它能正確地反映數(shù)學的歷史發(fā)展，即“現(xiàn)代的數(shù)學知識是由初始的狀態(tài)經(jīng)由一系列的合理轉(zhuǎn)變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點，數(shù)學史對于數(shù)學哲學的重要性就得到了進一步的強化：正是前者為數(shù)學哲學的研究提供了基本的素材和最終的檢驗。這也就是說，“數(shù)學史對于數(shù)學哲學來說，不僅不是無關(guān)的，并事實上占有核心的地位?！?/p>

4.實際數(shù)學工作者的“活的哲學”

應(yīng)當指出，對于數(shù)學史的高度重視不僅直接涉及到了數(shù)學方法論的研究，而且也標志著數(shù)學哲學研究立場的重要轉(zhuǎn)變。在新方向上工作的數(shù)學哲學家們幾乎一致地認為，實際的數(shù)學活動應(yīng)當成為數(shù)學哲學理論研究的出發(fā)點和最終依據(jù)?！罢軐W沒有任何理由可以繼續(xù)無視實際的數(shù)學活動。事實上，正是這種實踐應(yīng)當為數(shù)學哲學提供問題及其解決所需要的素材。”

當然，上述的轉(zhuǎn)變直接反映了實際數(shù)學工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數(shù)學哲學應(yīng)當建立在對于這一領(lǐng)域（按指數(shù)學）中所實際發(fā)生的一切的仔細觀察之上?！?/p>

最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數(shù)學方法論研究的意義進行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學家就可以此為依據(jù)對實際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發(fā)現(xiàn)這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數(shù)學家們則可能會發(fā)現(xiàn)以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領(lǐng)域是如何由過去的數(shù)學演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發(fā)揮了特別重要的作用。并非言過其實的是，這些答案……—還可能對數(shù)學家關(guān)于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發(fā)作用?！憋@然，這一認識與現(xiàn)代科學哲學中對于方法論的強調(diào)是完全一致的。

三、數(shù)學哲學的革命

從整體上說，與先前的基礎(chǔ)主義數(shù)學哲學相比，新方向上的研究無論就基本的數(shù)學觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發(fā)生了十分重要的變化。我們就可以說，數(shù)學哲學已經(jīng)歷了一場深刻的革命。

1.研究立場的轉(zhuǎn)移，即由與實際數(shù)學活動的嚴重分離轉(zhuǎn)移到了與它的密切結(jié)合。

由于深深地沉溺于對已有的數(shù)學理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學派在基礎(chǔ)研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認為應(yīng)當對已有的數(shù)學理論和方法進行嚴格的批判或?qū)彶?，并通過改造或重建以徹底解決數(shù)學的可靠性問題。從而，基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學主要地就是一種規(guī)范性的研究，而也正因為此，基礎(chǔ)研究在整體上就暴露出了嚴重脫離實際數(shù)學活動的弊病。

與此相對照，在新方向上工作的數(shù)學哲學家普遍采取了相反的立場，即是認為數(shù)學哲學應(yīng)當成為實際數(shù)學工作者的“活的哲學”，也即應(yīng)當“真實地反映當我們使用、講授、發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學時所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉(zhuǎn)移事實上也就意味著數(shù)學哲學性質(zhì)的重要改變：這已不再是實際數(shù)學工作者所必須遵循的某些先驗的、絕對的教條。

2.對于數(shù)學史的高度重視。

由于邏輯主義等學派所關(guān)注的主要是數(shù)學的邏輯重建，因此，在這些學派看來，數(shù)學的真實歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數(shù)學的哲學分析完全不相干的，而數(shù)學哲學家所唯一應(yīng)當重視的則就是邏輯分析的方法。

與基礎(chǔ)主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數(shù)學哲學家則普遍地對數(shù)學史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數(shù)學活動的歷史和社會層面的關(guān)注清楚地表明了‘新’的數(shù)學哲學與傳統(tǒng)的新弗雷格主義傾向的區(qū)別，而后者在本世紀前半葉曾在這一學科中占據(jù)支配的地位。”顯然，這事實上也就可以被看成上述的基本立場的一個直接表現(xiàn)。

更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認識：“沒有數(shù)學史的數(shù)學哲學是空洞的；沒有數(shù)學哲學的數(shù)學史是盲目的?！保ɡㄍ兴拐Z）這不僅標志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數(shù)學哲學（和數(shù)學史）的研究指明了努力的方向。

3.研究問題的轉(zhuǎn)移。

由于對已有的數(shù)學理論和方法可靠性的極大憂慮構(gòu)成了邏輯主義等學派的基礎(chǔ)研究工作的共同出發(fā)點，因此，基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學主要地就是圍繞所謂的“數(shù)學基礎(chǔ)問題”展開的。這也就是指：如何為數(shù)學奠定可靠的基礎(chǔ)，從而徹底地解決數(shù)學的可靠性問題？

與此相對照，現(xiàn)代的數(shù)學哲學家一般不再關(guān)心數(shù)學的可靠性問題，而這事實上也就是數(shù)學工作者實際態(tài)度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數(shù)學哲學研究的一個明顯和無可辯駁的出發(fā)點，即人們具有一定的數(shù)學知識，這些數(shù)學知識并已獲得了證實，從而就是可靠的。

對于力圖為實際數(shù)學工作者建立“活的哲學”的數(shù)學哲學家來說，數(shù)學哲學研究的核心問題無疑就在于：如何對數(shù)學（活動）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數(shù)學哲學始于這樣的思考，即是如何為數(shù)學提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數(shù)學本質(zhì)特性并對人們?nèi)绾文軌驈氖聰?shù)學活動作出解釋的綜合觀點。”顯然，這也就表明了，方法論的問題何以會在數(shù)學哲學的現(xiàn)代研究中占據(jù)特別重要的位置。

4.動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學觀對于靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學觀的取代。

盡管邏輯主義等學派對什么是數(shù)學的最終基礎(chǔ)有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現(xiàn)的又都可以說是一種靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學觀，因為，他們都希望能通過自己的工作為數(shù)學奠定一個“永恒的、可靠的基礎(chǔ)”，這樣，數(shù)學的進一步發(fā)展也就可以被看成無可懷疑的真理在數(shù)量上的單純積累。

如果說靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學觀在基礎(chǔ)主義的數(shù)學哲學中占據(jù)了主導的地位，那么，由于把著眼點轉(zhuǎn)移到了實際的數(shù)學活動，人們現(xiàn)已不再把數(shù)學的發(fā)展看成是無可懷疑的真理在數(shù)量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創(chuàng)造性活動，數(shù)學發(fā)展顯然是一個包含有猜測、錯誤和嘗試、證明和反駁、檢驗與改進的復雜過程，并依賴于個體與群體的共同努力。從而，這種動態(tài)的、經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的數(shù)學觀就已逐漸取代傳統(tǒng)的靜態(tài)的和絕對主義的數(shù)學觀在這一領(lǐng)域中占據(jù)了主導的地位。

綜上可見，相對于基礎(chǔ)主義而言，現(xiàn)代的數(shù)學哲學無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發(fā)生了質(zhì)的變化。因而，我們可以明確地斷言：在數(shù)學哲學的現(xiàn)展中已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學哲學的影響有著十分緊密的聯(lián)系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數(shù)學哲學現(xiàn)展的特殊重要性。

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