導(dǎo)語(yǔ)：先天易的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究論文一文來(lái)源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：本文從自然數(shù)及其記數(shù)法的基本概念出發(fā)，辨析了與二進(jìn)位制相關(guān)的幾個(gè)容易混淆的概念，指出序數(shù)概念的引入在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中有重要意義，作為邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，先天易是數(shù)學(xué)史上第一個(gè)專門定義的序數(shù)體系，該序數(shù)體系在數(shù)學(xué)史上率先采用了二進(jìn)位制記數(shù)法。先天易作為二進(jìn)制序數(shù)體系這一事實(shí)在明清時(shí)期引起不同的反響，反對(duì)者認(rèn)為它使易道淪落，大數(shù)學(xué)家汪萊則從P進(jìn)制的角度論證它的優(yōu)越性。本文最后還對(duì)近年來(lái)反對(duì)先天易與二進(jìn)制有關(guān)的兩種典型觀點(diǎn)進(jìn)行了剖析，指出其謬誤所在。

關(guān)鍵詞：先天易；二進(jìn)位制；序數(shù)；邵雍；汪萊

AresearchonthemathematicsfoundationintheprimordialYi

——ontheprimordialhexagrams''''orderandbinarysystem

Abstract:Departingfrombasicconceptsofcardinalnumbersandtheirnumberingorders,thepaperdifferentiatedandanalyzedsomeconceptseasytobeconfusedrelatedtobinarysystem,pointingoutthattheintroducedconceptsofordinalsplayedanimportantroleinthedevelopmentofmodernmathematics.AsthefoundationofSHAOYong''''smathematics,theprimordialYi,inthehistoryofmathematics,exhibitsthefirstspeciallydefinedordinalsystem,inwhichthebinarynumberingmethodwasusedatthefirsttime.Beingabinaryordinalsystem,theprimordialYiarouseddifferentrepercussions:opposerscensureditdebasedYi;While,departingfromtheangleofthePcarryingsystem,WANGLai,agreatmathematician,proveditssuperiority.Inaddition,thepaperalsoanalyzedtwotypicalviewpointsagainsttheprimordialYiandbinarysystem,toexposetheirfallacy.

Keywords:theprimordialYi;binarysystem;ordinals;SHAOYong;WANGLai

第一節(jié)先天易是二進(jìn)位體系

一、二進(jìn)位制的定義

易與二進(jìn)位制問(wèn)題的討論，實(shí)際上是關(guān)于自然數(shù)記數(shù)法討論。

二進(jìn)位制是最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的計(jì)數(shù)方式之一。生活中對(duì)二進(jìn)制的掌握與運(yùn)用，只須有一定的同異判別能力即可，對(duì)智力水平的要求比十進(jìn)制低得多。不能因?yàn)殡娮赢a(chǎn)品廣泛應(yīng)用二進(jìn)制邏輯最簡(jiǎn)單、最基本的特性而將它神秘化。

什么是二進(jìn)位制呢？首先要搞清楚的是：什么是自然數(shù)？

下面我們從自然數(shù)及自然數(shù)記數(shù)法的一般定義出發(fā)，進(jìn)行說(shuō)明。自然數(shù)兩種基本定義：一稱為基數(shù)定義，表示個(gè)數(shù)；一稱為序數(shù)定義，表示順序關(guān)系。

基數(shù)就是帶單位的數(shù)量，是相對(duì)直觀的概念，反映一種原始的抽象思維，記錄實(shí)物對(duì)象的重復(fù)量，離不開實(shí)物對(duì)象，只需數(shù)個(gè)數(shù)的水平，如結(jié)繩計(jì)數(shù)，尚不需形成整體意識(shí)，對(duì)心智比較也不需有過(guò)多的要求，就像兒童都有過(guò)認(rèn)得一些零散的數(shù)（個(gè)數(shù)），但分不清大小的經(jīng)歷一樣，在人類掌握排序概念以前，基數(shù)概念是最原始的數(shù)的概念?；鶖?shù)定義的自然數(shù)沒(méi)有排序功能，排序的概念則隸屬于自然數(shù)的序數(shù)定義。這是自然數(shù)的兩重天然屬性。一般認(rèn)為，在19世紀(jì)下半葉之前，數(shù)學(xué)界對(duì)其中的區(qū)別并沒(méi)有清晰的認(rèn)識(shí)。

順序關(guān)系是自然數(shù)序數(shù)定義的核心。對(duì)序數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用是人類智力水平的又一次飛躍?；鶖?shù)是實(shí)物對(duì)象的簡(jiǎn)單影射，序數(shù)則擺脫了實(shí)物對(duì)象的約束，需要比基數(shù)更進(jìn)一大步的抽象能力和比較能力，并有自覺(jué)的全域觀念。

任何用來(lái)表示順序的符號(hào)都是序數(shù)表示式，對(duì)使用者來(lái)說(shuō)，都是自然數(shù)。如A、B、C、D，甲、乙、丙、丁，在生活中常用以表示順序，這時(shí)就屬于數(shù)的范疇，都是序數(shù)表示。甚至如座位三排五號(hào)也是序數(shù)，這種計(jì)數(shù)方法屬于自然數(shù)表示方式中的非位值進(jìn)位制，它的位值用專用符號(hào)“排”和“號(hào)”來(lái)表示?？梢?，用來(lái)表示個(gè)數(shù)或序的符號(hào)都是自然數(shù)。

根據(jù)符號(hào)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，自然數(shù)的表示法可分為非進(jìn)位制、特殊位值進(jìn)位制和位值進(jìn)位制。非進(jìn)位制是自然數(shù)的最原始的表示法，如簡(jiǎn)單結(jié)繩計(jì)數(shù)形式。特殊位值進(jìn)位制是指使用了進(jìn)位的概念但借助專用記號(hào)表示位值，沒(méi)有通用的位值概念。如上面提及的三排五號(hào)就是這種表示法，‘三’與‘五’是不同位上的值，這里使用了進(jìn)位的概念，并借助專用符號(hào)‘排’來(lái)表示進(jìn)位，而不是直接利用基本符號(hào)本身的位置關(guān)系來(lái)表示進(jìn)位，因此稱為非位值進(jìn)位制或特殊位值進(jìn)位制。由于受專用進(jìn)位符號(hào)的制約，這種表示法使用起來(lái)有明顯的局限性。古代的很多計(jì)數(shù)法如埃及、希臘、羅馬的計(jì)數(shù)法都屬于這類進(jìn)位制。比如古希臘半島采用27個(gè)字母計(jì)數(shù)法，從1-9用九個(gè)字母表示，10-90再用另外九個(gè)字母表示，100-900用剩下的九個(gè)字母表示，這種笨拙的特殊位值十進(jìn)制計(jì)數(shù)法一直延續(xù)到文藝復(fù)興前夕。

位值進(jìn)位制是先進(jìn)的表示法，顧名思義，直接利用基本符號(hào)本身的位置關(guān)系來(lái)表示進(jìn)位，即“它用同樣的符號(hào)利用位置關(guān)系表示高位值”，因此稱為位值進(jìn)位制。由于使用了位值的概念，位值進(jìn)位制原則上可以把自然數(shù)推至無(wú)窮而不會(huì)出現(xiàn)邏輯困難。用十個(gè)基本符號(hào)來(lái)表示就稱為十進(jìn)位制，用兩個(gè)基本符號(hào)來(lái)表示就稱為二進(jìn)位制。

二、與二進(jìn)位制定義相關(guān)的幾個(gè)容易混淆的概念辨析

由于所有數(shù)系的基礎(chǔ)都是對(duì)象的可數(shù)性或有序性即自然數(shù)，因此自然數(shù)記數(shù)法隨著數(shù)系的擴(kuò)充，依次可以自然而然地成為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的記數(shù)方式。對(duì)同一個(gè)數(shù)系來(lái)說(shuō)，不同的記數(shù)方式是等價(jià)的，數(shù)系與記數(shù)方式之間不存在相互約束的關(guān)系。

在討論周易與二進(jìn)位制這個(gè)問(wèn)題時(shí)，二進(jìn)制算術(shù)是一個(gè)常出現(xiàn)的提法，但它是一種概念不清的錯(cuò)誤提法，因?yàn)樗阈g(shù)法則是來(lái)自數(shù)系自身的邏輯內(nèi)涵的一種操作規(guī)定，只與數(shù)系自身有關(guān)，與記數(shù)法則毫無(wú)關(guān)系。采用同樣的記數(shù)法，只須對(duì)數(shù)系的定義進(jìn)行一些簡(jiǎn)單修改，它的算術(shù)就會(huì)面目全非?？梢?，在討論是否使用過(guò)二進(jìn)制記數(shù)法這一問(wèn)題的時(shí)候，把四則運(yùn)算作為評(píng)判條件是錯(cuò)誤的。

另外，有人以是否存在用二進(jìn)制表示的小數(shù)作為二進(jìn)制發(fā)明的判據(jù)，顯然也是錯(cuò)誤的，因?yàn)橛洈?shù)法與數(shù)系之間不存在相互約束的關(guān)系，小數(shù)的發(fā)明遠(yuǎn)在十進(jìn)位制之后就是一個(gè)例子。

值得一提的還有二進(jìn)制的基本符號(hào)問(wèn)題。二進(jìn)制記數(shù)法的基本符號(hào)只需且只能有兩個(gè)基本符號(hào)，而這兩個(gè)符號(hào)可以是約定的任意字符，0和1僅僅是符合要求的任意符號(hào)組合中的一組而已，這也是很容易引起想當(dāng)然的誤會(huì)。也許是因?yàn)槲覀儗?duì)阿拉伯?dāng)?shù)字太熟悉了的緣故，常常會(huì)誤解只有寫成0和1形式的符號(hào)系列才是二進(jìn)位制形式。其實(shí)，為了避免與十進(jìn)制阿拉伯?dāng)?shù)字符號(hào)混在一起，現(xiàn)代運(yùn)用中更多的是采用T(true)和F(false)或L(left)和R(right)作為基本符號(hào)。

三、先天易是二進(jìn)位制體系

首先，讓我們來(lái)總結(jié)一下成為二進(jìn)位制的條件是什么？

1．必須符合自然數(shù)定義，即必須是用來(lái)表示數(shù)量關(guān)系或順序關(guān)系的符號(hào)體系。

2．基本的符號(hào)是不是只有兩個(gè)？

3．必須符合位值進(jìn)位制的定義，即是否“用同樣的符號(hào)利用位置關(guān)系表示高位值”，而不是另外引入專用進(jìn)位符號(hào)？

以上三個(gè)條件是一個(gè)符號(hào)體系稱為二進(jìn)位制體系的充分條件?，F(xiàn)就上述條件逐一討論。

1．邵雍先天易是用來(lái)表示抽象順序關(guān)系的符號(hào)體系。

這一點(diǎn)取得了幾乎完全的共識(shí)，看到圖就知道，這是非常顯然，無(wú)法辯駁的，幾乎所有的反對(duì)者都承認(rèn)這一點(diǎn)?，F(xiàn)最流行的觀點(diǎn)是西方漢學(xué)家葛蘭言提出來(lái)的，他斷言是碰巧而不是有意排出來(lái)的抽象順序，那也許是他沒(méi)有閱讀原著的結(jié)果。因?yàn)榉素詧D稱為伏羲八卦次序和伏羲六十四卦次序，圖名為次序，有什么理由說(shuō)他們不是主觀上有意的排序？自邵雍以來(lái)，幾乎所有的易書對(duì)此都做了或繁或約的闡述，現(xiàn)舉朱熹對(duì)伏羲六十四卦次序圖的說(shuō)明如下:

朱熹答袁樞曰：

若要見得圣人作易根原，直截分明，不如且看卷首橫圖，自始初只有兩畫，漸次看起，以至生滿六畫之后，其先后多寡，既有次第，而位置分明不費(fèi)詞說(shuō)，于此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來(lái)，圣人只是見得分明，便只依本畫出，元不曾用一毫智力添助。蓋本不繁智力之助，亦不容智力得以助于其間也。大家注意其中的“其先后多寡，既有次第，而位置分明不費(fèi)詞說(shuō)，于此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來(lái)”，說(shuō)的就是先天易圖排列法則是依照大小多寡一個(gè)挨一個(gè)地排出來(lái)的，強(qiáng)調(diào)了其中的數(shù)(序號(hào))意義。

2．邵雍先天易圖只用兩個(gè)基本符號(hào)即陰與陽(yáng)來(lái)表示。

這是主要誤會(huì)所在，誤以為必須是0和1才是二進(jìn)制，甚至認(rèn)為必須用1代替“—”、0代替“--"才能稱為二進(jìn)位制。盡管北宋以來(lái)有不少中國(guó)古代學(xué)者對(duì)二進(jìn)位制的簡(jiǎn)單換算性質(zhì)作了敘述，但與其它計(jì)數(shù)方式的換算不是二進(jìn)位制自身是否成立的前提。

3．邵雍先天易圖無(wú)須引入專用進(jìn)位符號(hào)，直接利用陰陽(yáng)爻的相對(duì)位置表示位值，也就是說(shuō)，利用了位值的概念。以往幾乎沒(méi)有人注意到這個(gè)問(wèn)題。

可見，邵雍先天易是用“—”和“--"這兩個(gè)基本符號(hào)構(gòu)建的序數(shù)體系，二進(jìn)位制記數(shù)法是先天易的邏輯基礎(chǔ)。

第二節(jié)先天易是專門定義的抽象數(shù)

我們知道，中國(guó)數(shù)學(xué)史所討論的內(nèi)容基本上都屬于算術(shù)范疇，在古代被稱為算學(xué)，即布算之學(xué)，重于計(jì)算技巧。而中國(guó)古代數(shù)學(xué)是專指邵雍為代表的研究傳統(tǒng)，即通過(guò)對(duì)抽象數(shù)的研究來(lái)探尋宇宙萬(wàn)事萬(wàn)物的內(nèi)在邏輯。俗言中心中有數(shù)、定數(shù)就是這個(gè)數(shù)。伊川說(shuō)：“數(shù)學(xué)至康節(jié)始入理也?！薄端膸?kù)全書提要》評(píng)述道：“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)完造化之源者，是為數(shù)學(xué)。”就是說(shuō)：主張物的產(chǎn)生必有象為先導(dǎo)，象的產(chǎn)生必有數(shù)為基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行深入探究，以達(dá)到窮盡造化演化規(guī)律的學(xué)問(wèn)稱為數(shù)學(xué)。上海古籍出版社《四庫(kù)術(shù)數(shù)類叢書》出版說(shuō)明指出：“(數(shù)學(xué))實(shí)際是指據(jù)《周易》陰陽(yáng)奇偶之?dāng)?shù)推衍出來(lái)的象數(shù)說(shuō)?！?/p>

邵雍是如何看待數(shù)的呢？《觀物外篇》說(shuō)：

易有內(nèi)象，理數(shù)是也；有外象，指定一物不變者是也。

自然而然不得而更者，內(nèi)象內(nèi)數(shù)也，他皆外象外數(shù)也。

此就是說(shuō)，象數(shù)可分兩大類：一是內(nèi)象，用以表示內(nèi)在的理數(shù)；一是外象外數(shù)，用以表示外在的具體事物及其相關(guān)的數(shù)據(jù)。前者指奇偶變化的法則，后者指天地風(fēng)雷等變化的形跡。實(shí)際上，中西古代數(shù)學(xué)史所討論的數(shù)都是具體的數(shù)量，都是帶單位的數(shù)，即這里的外數(shù)。理數(shù)之稱，強(qiáng)調(diào)數(shù)自身的內(nèi)在邏輯性不是人的主觀所能安排或改變的，此即“自然而然不得而更者”，故稱其為內(nèi)數(shù)，他把內(nèi)數(shù)所具備的內(nèi)在的數(shù)理邏輯稱為“自然之道”。

換句話說(shuō)，理數(shù)即是用于說(shuō)理之?dāng)?shù)，強(qiáng)調(diào)其數(shù)之理，說(shuō)明這種數(shù)的主要特征是具有內(nèi)在的邏輯性。內(nèi)數(shù)，指陰陽(yáng)邏輯系統(tǒng)，用以研究事物的內(nèi)在所固有的數(shù)理邏輯。從數(shù)學(xué)學(xué)派的著作中可以看出兩種內(nèi)涵都有而前者是根本。中國(guó)數(shù)學(xué)史上的內(nèi)學(xué)和外學(xué)之分，常常是建立在這種概念基礎(chǔ)上的。研究抽象數(shù)理邏輯的數(shù)學(xué)稱為內(nèi)學(xué)，而研究具體數(shù)量關(guān)系的算學(xué)稱為外學(xué)。邵雍特地將體現(xiàn)“自然之道”的內(nèi)數(shù)即數(shù)理邏輯與通常所用的“指定一物不變”的指實(shí)數(shù)區(qū)別開來(lái)是有其目的的，其目的是要將他所倚重的內(nèi)數(shù)即數(shù)理邏輯發(fā)揚(yáng)光大，做為他理論的基石。

邵子將數(shù)分成內(nèi)數(shù)與外數(shù)兩種性質(zhì)完全不一樣的系統(tǒng)，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)獨(dú)具慧眼的發(fā)現(xiàn)。根據(jù)抽象數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中把數(shù)分為抽象數(shù)(即不名數(shù)AbstractNumber)和名數(shù)(ConcreteNumber)兩類（見（臺(tái)）《中山自然科學(xué)大辭典》第二冊(cè)《數(shù)學(xué)》P33～78）。抽象數(shù)（不名數(shù)）的定義是：“任意單純的數(shù)，與任何特別的事物無(wú)關(guān)，除非這些事物具有數(shù)的性質(zhì)，主要用以表示與名數(shù)的差別?！倍麛?shù)的定義是：“一數(shù)附于特別的事物或單位，例如三個(gè)人或三小時(shí)等，此數(shù)及其所涉及者并稱為名數(shù)?！?/p>

這種劃分與邵雍關(guān)于內(nèi)數(shù)與外數(shù)的劃分基本上是一致的，邵雍定義中的外數(shù)是“指定一物而不變者”，就是現(xiàn)代定義中的名數(shù)；而內(nèi)數(shù)是用以表達(dá)數(shù)之理，其定義除了與抽象數(shù)的定義一樣強(qiáng)調(diào)“與任何特別的事物無(wú)關(guān)”之外，還側(cè)重強(qiáng)調(diào)其邏輯具有淺顯(自然而然)而嚴(yán)密(不得更者)的特征，表明它主要是用來(lái)探尋事物的內(nèi)在規(guī)律性(自然之道)。內(nèi)外數(shù)的劃分，標(biāo)志著中國(guó)中古時(shí)期存在相當(dāng)成熟的理性思考，增添了傳統(tǒng)科學(xué)中研究抽象關(guān)系的純粹科學(xué)特色。邵雍開創(chuàng)的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)，被稱為數(shù)學(xué)。《四庫(kù)全書》列有數(shù)學(xué)專目，而《古今圖書集成》也有理數(shù)部，專門收集數(shù)學(xué)學(xué)派代表作。

第三節(jié)邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派關(guān)于二進(jìn)制序數(shù)換算問(wèn)題的討論

邵子先天易作為二進(jìn)位制序數(shù)體系無(wú)疑是成立的，就像不能說(shuō)只把寫成阿拉伯?dāng)?shù)字形式才算是數(shù)字一樣，無(wú)論從何角度也不要求非得把它換算成十進(jìn)制不可。

理數(shù)是序數(shù)體系，有別于通常所用的基數(shù)體系。在介紹相關(guān)換算之前，有必要介紹兩者在計(jì)數(shù)方式上的微小差別?；鶖?shù)從“沒(méi)有”（0）開始，序數(shù)從“第一”開始。在十進(jìn)位制表示中，從0到9十個(gè)基本記號(hào)來(lái)自基數(shù)的自然表達(dá)，對(duì)應(yīng)于序數(shù)則是從第一（即以第“零”為一）到第十。同樣的基本記數(shù)符號(hào)所代表的序數(shù)比基數(shù)多1,即n進(jìn)制中符號(hào)系列a1a2…am所代表的序數(shù)為（a1a2…an）n+1。這種概念上的區(qū)別有非常明確的物理意義，如狀態(tài)函數(shù)ψ(000)代表第一個(gè)狀態(tài)（基態(tài)）。

先天易是以太極(陽(yáng))為基礎(chǔ)構(gòu)造的系統(tǒng)演化理論，在陰陽(yáng)的關(guān)系上邵雍《觀物外篇》指出：

陽(yáng)不能自立，必得陰而后立，故陽(yáng)以陰為基。陰不能自見，必待陽(yáng)而后見，故陰以陽(yáng)為唱。

邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派以數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，理從數(shù)中來(lái)。因此這里首先講數(shù)（陰陽(yáng)）的關(guān)系。根據(jù)陰陽(yáng)特性和“一每生二，自然之理”法則，陽(yáng)爻相當(dāng)于零值，陰爻相當(dāng)于位值。“陽(yáng)以陰為基”是說(shuō)假如沒(méi)有陰爻在高位，陽(yáng)爻的個(gè)數(shù)對(duì)序的大小不產(chǎn)生影響，即高于位值（陰）的零值符號(hào)（陽(yáng)）對(duì)序沒(méi)有貢獻(xiàn)，所以稱陽(yáng)爻以陰爻為基。例如：陰“--”其對(duì)應(yīng)序數(shù)為2，即(1)2＋1＝2；“兌”亦對(duì)應(yīng)于序數(shù)2，即(001)2＋1＝2。

“陰以陽(yáng)為唱”是說(shuō)低位的陽(yáng)爻高位的陰爻代表的位值倍增。例如：陰“--”其對(duì)應(yīng)序數(shù)為2，即(1)2＋1＝2；“巽”其對(duì)應(yīng)序數(shù)為5，即(100)2＋1＝5。

兩句話說(shuō)的是陰爻與陽(yáng)爻在構(gòu)成二進(jìn)位制數(shù)的具體過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的相互依存的兩種不同的作用。即以陽(yáng)為0，以陰為1高位在下的二進(jìn)位制自然數(shù)。在《皇極經(jīng)世書》中，“唱”與“和”均通用為相乘算法。下面我們從一個(gè)有趣的例子來(lái)介紹先天易中對(duì)二、十進(jìn)制換算的處理。南宋張行成在《易通變》(又名《皇極經(jīng)世通變》)卷一中說(shuō)：

乾兌離震巽坎艮坤者，名也，名所以表其德；一、二、三、四、五、六、七、八者，數(shù)也，數(shù)所以定其位。位者，體也，故有位斯有卦；德者，用也，故有卦斯有爻。卦者，體也；爻者，用也。先天圖反觀之則乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。乾坤坎離四卦不變，余四卦則震艮巽兌互相易矣。天之一、三不變，二、四變；地之六、八不變，五、七變。

卷三十八則有如下論述：

卦自內(nèi)觀之，則乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八；卦自外觀之，則乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。

先天卦數(shù)即大家都很熟悉的乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。張行成說(shuō)，從內(nèi)往外讀，即初爻為高位，卦的理數(shù)值是這個(gè)結(jié)果。假如反過(guò)來(lái)，自外往內(nèi)讀，即上爻為高位，則是乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。

下面依上述“陽(yáng)以陰為基，陰以陽(yáng)為唱”的規(guī)則，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制值。若高低位的規(guī)定對(duì)換，則乾坤坎離四卦表示值不變，而震與艮、巽與兌的表示值互相交換。

乾(000)2＋1＝1；

坤(111)2＋1＝8；

坎(101)2＋1＝6；

離(010)2＋1＝3；

震由(011)2＋1＝4變成(110)2＋1＝7；

艮由(110)2＋1＝7變成(011)2＋1＝4；

巽由(100)2＋1＝5變成(001)2＋1＝2；

兌由(001)2＋1＝2變成(100)2＋1＝5。

第四節(jié)明清時(shí)期對(duì)先天易二進(jìn)位制的兩種典型觀點(diǎn)

一、王夫之斥先天易淪為算士銖積寸壘的小術(shù)

現(xiàn)代人對(duì)先天易卦衍生序的討論都盡量限制在哲學(xué)范圍之內(nèi)。而從我們上面的討論中可知，先天易卦符號(hào)首先是數(shù)的符號(hào)，然后在此基礎(chǔ)上討論包括哲學(xué)在內(nèi)的其它問(wèn)題。先天易符號(hào)二進(jìn)位制數(shù)結(jié)構(gòu)對(duì)明清學(xué)者來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單的事實(shí)。他們分歧的焦點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)二進(jìn)位制數(shù)結(jié)構(gòu)的先天易模型能否規(guī)范萬(wàn)物萬(wàn)象。作為邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派的主要反對(duì)者，王夫之在評(píng)論邵雍以加一倍法演先天易時(shí)說(shuō)：

教童稚知相乘之法則可，而與天人之理毫無(wú)可取。使以加一畫即加一倍言之，則又何不可加為七畫以倍之為一百二十八，漸加漸倍，億萬(wàn)無(wú)窮，無(wú)所底止，又何不可哉？不知《易》但言四象生八卦，定吉兇，生大業(yè)，初不可損羲爻，益而為四爻，五爻。此乃天地法象之自然，事物通變之定數(shù)，不可以算士銖積寸壘，有放無(wú)收之小術(shù)，以亂天地之紀(jì)也。

邵雍、蔡西山之道，可勿僅以數(shù)學(xué)名也。始姑就之，天下趨焉；終遂耽之，大道隱焉。(《續(xù)春秋左傳博議》卷下)

在他看來(lái)，先天易僅僅是算博士“銖積寸壘，有放無(wú)收”的雕蟲小技而已，與大道無(wú)涉，也正是由于過(guò)分強(qiáng)調(diào)二進(jìn)位制數(shù)學(xué)特性而失去了詮解大道的資格。

二、汪萊從P進(jìn)制角度論證二進(jìn)制的優(yōu)越性

汪萊是清朝乾嘉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，也是中國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)家。著有《衡齋算學(xué)》七卷、《衡齋遺書》九卷。因不滿考據(jù)家因循復(fù)古的陳腐風(fēng)氣，郁郁不得志，以致英年早逝。

當(dāng)時(shí)考據(jù)家以非兩漢正統(tǒng)為由對(duì)邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派進(jìn)行全面否定，而從汪萊數(shù)學(xué)名著《參兩算經(jīng)》則可以看出他對(duì)邵雍觀物思想和先天易情有獨(dú)鐘。

《參兩算經(jīng)》全文不足千字，分為《原始》、《立綱》、《匯奇》、《列偶》、《會(huì)歸》，最后為《參兩數(shù)說(shuō)》，共六部分。文字極為凝煉，其中《原始》、《立綱》、《會(huì)歸》各僅僅30余字。

其中《原始篇》曰：

端居觀物，情契先天，見象數(shù)之紛紜，其可斷者不外乎參兩，乃著之則以示來(lái)者。

此篇為前言，講明此算經(jīng)的寫作目的。在當(dāng)時(shí)觀物之學(xué)極為尷尬的形勢(shì)下，“端居觀物，情契先天”八個(gè)字包含的情感非同一般。

《立綱篇》：

立數(shù)在十，算如常法?；蛏匣蛳?，逢身進(jìn)位。立法少實(shí)，即命為法，立法過(guò)實(shí)，盈實(shí)進(jìn)一。大綱若此，諸數(shù)以定。

此為算法總綱，講任意進(jìn)制的乘除法及整除性法則。《匯奇篇》和《列偶篇》則分別為奇數(shù)進(jìn)位制與偶數(shù)進(jìn)位制的乘除法及整除性研究。

《會(huì)歸篇》是本經(jīng)的結(jié)論部分：

曰參曰兩乃數(shù)之原。立數(shù)于參，二乘一一。立數(shù)于兩，一乘不煩。是以生諸數(shù)之法而不受裁于法。

通過(guò)上面的討論，結(jié)論是二進(jìn)制乘法口訣最簡(jiǎn)單，只需一算式，即一乘一等于一，并強(qiáng)調(diào)了二、三進(jìn)位制的優(yōu)越性，推之為“乃數(shù)之原”，旨在闡述他對(duì)“參天兩地而倚數(shù)”的數(shù)學(xué)理解。

天津師范大學(xué)李兆華教授對(duì)汪萊數(shù)學(xué)著作有深入的研究，他在《汪萊〈遞兼數(shù)理〉、〈參兩算經(jīng)〉略論》(吳文俊主編《中國(guó)數(shù)學(xué)史論文集（二）》)一文的最后指出：

《參兩算經(jīng)》一書，提出了采用各種進(jìn)位制的原則是“審法與數(shù)之宜”以求運(yùn)算的簡(jiǎn)便與結(jié)果的準(zhǔn)確，足見汪氏治算觀點(diǎn)之高。汪氏又具體地給出2≤p≤10時(shí)各種進(jìn)位制中的乘除表并深入地討論了p進(jìn)制中的“整除性”問(wèn)題，在中算史上是空前的。p進(jìn)制的研究是隨著本世紀(jì)四十年代電子計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生而發(fā)展起來(lái)的，而中國(guó)的數(shù)學(xué)家在電子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之前一百余年對(duì)p進(jìn)制的運(yùn)算和理論達(dá)到如此熟練與深入，實(shí)在是值得驕傲的事情。

最后應(yīng)該指出，這兩篇著作都涉及到《易經(jīng)》。《易經(jīng)》究竟給予汪氏怎樣的啟發(fā)?怎樣評(píng)價(jià)《易經(jīng)》的這種影響?這是中國(guó)數(shù)學(xué)史研究中一個(gè)帶有普遍性的問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題需要哲學(xué)史與數(shù)學(xué)史工作者共同努力才能給出實(shí)事求是的回答，本文姑從略。

盡管在上述論文中，作者刻意回避二進(jìn)位制問(wèn)題及相關(guān)評(píng)論，但是，從汪萊原著中我們不難看出，二進(jìn)位制是《參兩算經(jīng)》的一個(gè)核心而且與邵雍先天易有千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián)。

第五節(jié)從皮亞諾序數(shù)公理出發(fā)論證先天易是完備的二進(jìn)位制

邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派發(fā)現(xiàn)并廣泛使用二進(jìn)位制是不必費(fèi)多少筆墨就能說(shuō)清楚的事實(shí)，本文的主要目的在于從序數(shù)公理出發(fā)論證邵子先天易是完備的二進(jìn)位制序數(shù)體系。序數(shù)體系的建立是抽象數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。邵子先天易是第一個(gè)有明確定義的序數(shù)體系，也就是第一個(gè)抽象數(shù)學(xué)體系。

自然數(shù)的概念在數(shù)學(xué)上一直被當(dāng)做最明顯，最基本的概念來(lái)應(yīng)用，直到上世紀(jì)末，在數(shù)學(xué)的公理化方法發(fā)展的影響下，才提出“自然數(shù)是什么”的問(wèn)題?；谧匀粩?shù)的兩種功能層次，即表達(dá)個(gè)數(shù)的概念和表達(dá)順序的概念，19世紀(jì)末出現(xiàn)了著名的康托爾基數(shù)公理和皮亞諾序數(shù)公理，從數(shù)學(xué)邏輯的角度對(duì)什么是個(gè)數(shù)和什么是順序號(hào)作出定義。

大家都知道，個(gè)數(shù)和順序都是顯而易見的概念。但從文明發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，異同概念的出現(xiàn)是理性的起點(diǎn)，個(gè)數(shù)概念的出現(xiàn)是一個(gè)巨大進(jìn)步，順序概念的出現(xiàn)又是一個(gè)巨大的進(jìn)步。對(duì)個(gè)數(shù)（基數(shù)）和順序（序數(shù)）作出規(guī)范定義將大大方便文明史的研究，也有助于抽象數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。

基數(shù)就是個(gè)數(shù)，是最原始的、很直觀的數(shù)的概念，判斷掌握基數(shù)概念的標(biāo)準(zhǔn)是只需有一一對(duì)應(yīng)地?cái)?shù)個(gè)數(shù)能力，尚不要求形成整體意識(shí)，也不要求有一般的比較概念。自然數(shù)的基數(shù)理論，即康托爾基數(shù)公理，是以集合和一一對(duì)應(yīng)的概念為基礎(chǔ)來(lái)定義的。由于在定義中不能隱含順序概念在里面，使用集合的概念來(lái)定義是非常巧妙的，但也相當(dāng)拗口。

給定兩個(gè)集合A、B，如果存在一個(gè)規(guī)則f，對(duì)A中的每一個(gè)元素a，在B中唯一確定b（即a在f下的像），而B中任一元素b均由A中某一相應(yīng)元素a唯一確定，那么就說(shuō)f是A到B的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。存在一一對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合稱為等價(jià)的，取定一個(gè)集合A，把所有與A等價(jià)的集合放在一起，作成一個(gè)集合的類W，W中所有集合所共有的屬性稱為A的基數(shù)，簡(jiǎn)言之，類W本身就稱為A的基數(shù)。集合的基數(shù)實(shí)際上就是集合中元素的個(gè)數(shù)。

自然數(shù)的序數(shù)理論是利用兩個(gè)的基本概念第一個(gè)(first)與下一個(gè)(next)以及四個(gè)公理來(lái)定義的。第一個(gè)通?？梢杂洖?，不過(guò)不如記為n0更有普遍意義。所謂自然數(shù)（序數(shù)），是指滿足以下性質(zhì)的集合N中的元素：

1）n0是N的一個(gè)元，它不是N中任何元的后繼者，若n的后繼者用n＋來(lái)表示，則對(duì)于N中的任意元n,n＋不等于n0。（注：n0是指定的順序起點(diǎn)而不作證明）。

2）對(duì)于N中任意元n,存在而且僅存在一個(gè)后繼者n＋。

3）對(duì)N中任何兩個(gè)元n和m,若n＋＝m＋，則n＝m.

4）N的一個(gè)子集M，若具有以下性質(zhì)：

①n0屬于M；

②對(duì)于任意m屬于M，必有m+也屬于M；則M＝N

皮亞諾公理指出，要建立一個(gè)順序概念首先要選定一個(gè)順序的起點(diǎn)“第一個(gè)”(first)，其次需要規(guī)定一個(gè)順序操作“下一個(gè)”(next)或稱為“后繼者”，有了這兩個(gè)概念，就能定義一個(gè)序列，也就是序數(shù)。序數(shù)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，具有廣泛的適用性。

下面以排隊(duì)為例對(duì)皮亞諾公理進(jìn)行說(shuō)明，理論上隊(duì)列可以無(wú)窮長(zhǎng)。其中公理一是說(shuō)：第一個(gè)是絕對(duì)的，不能存在“第一個(gè)”的上一個(gè)，比如排隊(duì)時(shí)你排在前面第一個(gè)，就意謂著隊(duì)列中沒(méi)有比你排在更前面的。

公理二是說(shuō)：隊(duì)列中任何人的下一個(gè)必有但也只能有一個(gè)，不能多個(gè)。

公理三是說(shuō)：對(duì)任何人來(lái)說(shuō)，如果他后面一個(gè)位置的序號(hào)已經(jīng)知道（確定），那么他本身的序號(hào)也就定了。

公理四是說(shuō)：假如原來(lái)隊(duì)列的第一個(gè)另排一行，第一個(gè)的“下一個(gè)”，“下一個(gè)”的“下一個(gè)”全部依次跟過(guò)來(lái)，那么新隊(duì)列和老隊(duì)列是等價(jià)的。

這樣定義的自然數(shù)稱序數(shù)，以區(qū)別前者定義的基數(shù)，是專門針對(duì)“第幾”這個(gè)問(wèn)題而定義的?；鶖?shù)起于感性量的簡(jiǎn)單同異比較，用于描述感性的、形象的數(shù)量，而序數(shù)是基數(shù)的進(jìn)一步抽象，是思維進(jìn)一步發(fā)展的產(chǎn)物，用于描述理性的、抽象的關(guān)系量。

各種已知的古代數(shù)系，基本上都經(jīng)過(guò)從基數(shù)到序數(shù)的過(guò)程，首先用以表示“幾個(gè)”，然后才抽象出表示“第幾個(gè)”的涵義。但除了先天易之外，還沒(méi)有出現(xiàn)經(jīng)過(guò)定義的序數(shù)體系。

專門把表示順序的序數(shù)與表示個(gè)數(shù)的基數(shù)從基本定義上區(qū)分開來(lái)是數(shù)學(xué)向抽象化發(fā)展的要求，也是抽象數(shù)概念產(chǎn)生的基礎(chǔ)。邵子先天易就是專門定義的序數(shù)體系。為敘述方便，用Y表示先天易體系。下面從皮亞諾四個(gè)公理出發(fā)逐一論證說(shuō)明先天易符合序數(shù)定義，是從序數(shù)的角度來(lái)定義的。

有明確的順序起點(diǎn)定義，先天易從乾(太極)開始演化，是序列的起點(diǎn)。

有明確的次序定義，正如朱熹所說(shuō)的“其先后多寡，既有次第而位置分明，不費(fèi)詞說(shuō)，”、“全是天理，自然挨排出來(lái)”、“無(wú)不曾”、“亦不容”、“智力添助”。又是“未知其所窮”的“有放無(wú)收”的系統(tǒng)，這就是說(shuō)，系統(tǒng)Y是依多寡自然挨排即按多寡一個(gè)緊挨著一個(gè)排出來(lái)的排列，元素與元素之間的先后次序是固定不變的，元素的個(gè)數(shù)又是無(wú)窮的，故每個(gè)元素y必有固定的唯一的后繼者y＋。

根據(jù)Y系統(tǒng)上的特征，每一個(gè)后繼者y＋，前面必有唯一固定的元素y。這是顯然的。

設(shè)W是Y的一個(gè)子集，即W中的元素全部是Y中的元素，

假定I：乾一(y0)是W中的元素；

II：W中任意元w，其后繼者w＋也是W中的元素。

則W與Y等價(jià)。

證明：從前提W是Y的一個(gè)子集出發(fā)得知，W中每一個(gè)元素都是Y中元素，不存在屬于W而不屬于Y的元素。

從假定一得知Y序列的第一個(gè)元素y0也是W中的元素，Y中不可能有在y0前面的

元素，而W中的元素都是Y中的元素，因此W中y0也是第一個(gè)。

根據(jù)假定二，W中任意元素的后繼者都是W中的元素，從y0出發(fā)逐一加一的生成的元素都是W中的元素，同時(shí)這本來(lái)就是Y的定義，所以Y是W的子集。又前提中W是Y的子集，所以W與Y等價(jià)。

由于進(jìn)位制是自然數(shù)自身表達(dá)的模式，先天易系統(tǒng)Y是自然數(shù)序數(shù)系統(tǒng)，在內(nèi)部結(jié)構(gòu)上，任意大數(shù)均表示為奇偶兩個(gè)符號(hào)的迭加，并利用非零符號(hào)所在相對(duì)位置的不同表示位值的不同。所以先天易系統(tǒng)Y是二進(jìn)位制自然數(shù)體系。為了脫離數(shù)量與單位等具體特征的約束，先天易從單純序數(shù)的角度來(lái)構(gòu)建自然數(shù)序列，開抽象數(shù)學(xué)之先聲，它的意義必將逐步得到人們的重視。

第六節(jié)《周易》與二進(jìn)位制問(wèn)題散記

近數(shù)十年來(lái)，國(guó)內(nèi)否定周易與二進(jìn)位制有關(guān)的運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)學(xué)術(shù)源頭，一個(gè)是李約瑟《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》中綜述，另一個(gè)是80年代英國(guó)E.J.愛頓的一篇短文。之所以稱之為運(yùn)動(dòng)，那是因?yàn)榇蠹宜坪醵疾患s而同地隱含著對(duì)研讀原著的不熱心甚至鄙視。下面是有關(guān)這個(gè)問(wèn)題的三段筆記，以此獻(xiàn)諸同好。

一、葛蘭言的碰巧說(shuō)

從近現(xiàn)代西方學(xué)術(shù)界的角度看，自從認(rèn)識(shí)二進(jìn)位制數(shù)之伊始，就與《周易》結(jié)伴而行。西方第一篇關(guān)于二進(jìn)位制的文章發(fā)表于1703年，是萊布尼茲在《皇家科學(xué)院紀(jì)錄》上發(fā)表的，標(biāo)題為《二進(jìn)制算術(shù)的解說(shuō)》，副標(biāo)題為“它只用0和1，并論述其用途以及伏羲氏所使用的古代中國(guó)數(shù)字的意義”，作為對(duì)中國(guó)哲學(xué)的介紹加以高度評(píng)價(jià)。以后周易與二進(jìn)制問(wèn)題作為東方文化的一個(gè)特色一直引起西方學(xué)者的廣泛注意，他們對(duì)從浩瀚的易圖進(jìn)行研讀，得到了很多有益的成果。一直到本世紀(jì)二三十年代，幾乎沒(méi)有人對(duì)中國(guó)古代二進(jìn)位制的發(fā)明權(quán)表示懷疑或商榷。

正如李約瑟所說(shuō)的，“要是在十多年前，這個(gè)論題可能到此就結(jié)束了。但是晚近的發(fā)展表明，萊布尼茲的二進(jìn)制算術(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不單純是歷史上一樁奇事而已?！苯鼛资陙?lái)由于電子技術(shù)中的應(yīng)用發(fā)展使某些西方學(xué)者對(duì)中國(guó)古明二進(jìn)制這一結(jié)論越來(lái)越不能接受，于是有個(gè)宣判性質(zhì)的工作由漢學(xué)家葛蘭言先生給出的，在沒(méi)有研究或者說(shuō)沒(méi)有讀懂中國(guó)古代原始文獻(xiàn)的前提下葛先生作了激烈的判決。他說(shuō)，哪怕是承認(rèn)六十四卦序與萊布尼茲二進(jìn)制有一點(diǎn)點(diǎn)最低的共同基礎(chǔ)的想法都是理所當(dāng)然應(yīng)該摒棄的，因?yàn)椤鞍l(fā)明六十四卦的那些人所關(guān)心的只是用長(zhǎng)棍和短棍這兩種基本原件來(lái)形成一切可能的排列與組合。這些一經(jīng)形成之后，顯然有好幾種同樣合乎邏輯的排列也是可能的。事實(shí)上，其中有兩種最后獲得了極大的重要性，雖然其他排法也不難設(shè)計(jì)出來(lái)。把數(shù)學(xué)的意義歸之于六十四卦，其主要的缺點(diǎn)是，沒(méi)有什么東西是比任何一種定量計(jì)算更遠(yuǎn)離古代《易經(jīng)》專家們的思想的了。”李約瑟指出“葛蘭言已充分地表明了這一點(diǎn)”。“至于研究用陰爻和陽(yáng)爻的反復(fù)交替組成六十四卦的‘變易’的占卜者，他們可以被認(rèn)為是在進(jìn)行簡(jiǎn)單的二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算，但是他們?cè)谶@樣做的時(shí)候，肯定是并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)的。我們必須要求，任何發(fā)明——無(wú)論是數(shù)學(xué)的或是機(jī)械的——都應(yīng)該是有意識(shí)地作出來(lái)并能供使用的。如果《易經(jīng)》占卜者不曾意識(shí)到二進(jìn)制算術(shù)，而且也未曾加以使用，那么，萊布尼茨和白晉的發(fā)現(xiàn)就僅僅具有如下的意義，即在邵雍的《易經(jīng)》解說(shuō)中所表現(xiàn)的抽象順序系統(tǒng)是碰巧與包含在二進(jìn)制算術(shù)中的抽象順序系統(tǒng)相同而已。邵雍在他的《易經(jīng)》六十四卦排列中偶然碰到并由萊布尼茨使人意識(shí)到的二進(jìn)制算術(shù)，可以說(shuō)是在一種十分真實(shí)的意義上早在它被人發(fā)現(xiàn)適合于現(xiàn)代人的大型計(jì)算機(jī)之前，就已經(jīng)被用來(lái)構(gòu)造哺乳動(dòng)物的神經(jīng)系統(tǒng)了?！?/p>

這里稱之為宣判而不是研究，是因?yàn)檫@個(gè)工作本身更像是一個(gè)武斷而措詞激烈的宣言而不是研究，是因?yàn)樗@種對(duì)宣判對(duì)象邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派起碼的常識(shí)不知道也不屑于涉及的方式更像一個(gè)西方傳統(tǒng)上的宗教審判。葛氏宣判中涉及的易學(xué)常識(shí)性笑話就不值得一說(shuō)了，下面講講行文中的數(shù)理常識(shí)錯(cuò)誤。

葛氏對(duì)什么叫排列，什么叫組合，搞不清楚；對(duì)什么是二進(jìn)位制也只有一些感性的印象；當(dāng)然對(duì)排列、組合與序數(shù)概念關(guān)系問(wèn)題更是一片模糊。排列是建立序數(shù)(自然數(shù))的基礎(chǔ)上的抽象的概念，也就是排順序。其中排列項(xiàng)本身就是序號(hào)的代表，從排列本身的意義上說(shuō)，就是序數(shù)，也就是自然數(shù)記號(hào)。由兩種基本符號(hào)就可以完全表達(dá)的順序記號(hào)系統(tǒng)本身就是二進(jìn)位制自然數(shù)，完全與這兩位基本符號(hào)的具體形式無(wú)關(guān)，無(wú)論是陰與陽(yáng)還是長(zhǎng)棍與短棍，或者是0與1，都是可以作為二進(jìn)制基底的等價(jià)表示，因?yàn)樗鼈兪峭瑯?gòu)的。

組合是在排列概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一大步的抽象思維能力，從人類智力發(fā)展進(jìn)化進(jìn)程上說(shuō)，要求更高的智力水平，必須相對(duì)抽象的分析比較能力和一定的全局概念為基礎(chǔ)。就是說(shuō)，序數(shù)概念是排列行為的必然前提，組合概念是排列基礎(chǔ)上的智力飛躍。它們都是依從于順序概念的理性活動(dòng)，自然是有意識(shí)的，離開了對(duì)順序概念的自覺(jué)，還能稱為排列和組合嗎？另外，數(shù)學(xué)就僅僅等于定量計(jì)算么？

為了解釋先天易圖中的陰爻和陽(yáng)爻，有學(xué)者提出更無(wú)稽的暢想：“卦的線條倒不見得代表占卜用的長(zhǎng)短棍，而是更多地與自古以來(lái)中國(guó)肯定在使用的算籌有關(guān)。因此，這些符號(hào)可能是來(lái)源于使用一種以5為基的算術(shù)，由細(xì)線或斷線代表其值為1的算籌，而粗線或不斷線則代表其值為5的算籌?！边@就是李約所說(shuō)的“更說(shuō)得通”的巴爾德設(shè)想。不知為什么不從原著出發(fā)？假如讀不懂的話又有什么資格瞎編呢？這就是二三十年前徹底否定中國(guó)祖先發(fā)明二進(jìn)位制的補(bǔ)臺(tái)大作，它替葛氏給陰爻和陽(yáng)爻想出了一條出路，這是邵子或朱子原著中找不到的。于是宣判結(jié)束，意見得到統(tǒng)一，萊布尼茲以來(lái)幾百年的西人都錯(cuò)了，“愚笨”的中國(guó)古代變易論者怎能和創(chuàng)造奇跡的二進(jìn)位制相聯(lián)系呢？

說(shuō)巴爾德對(duì)易學(xué)完全不了解，那不是事實(shí)，他用二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為普通數(shù)字的方法從卦圖中“發(fā)現(xiàn)了各式各樣的幻方”，由于“從《易經(jīng)》得出的幻方卻頗為復(fù)雜，因而很難使人相信，中國(guó)的變易論在他們編排六十四卦時(shí)在內(nèi)心里曾有過(guò)任何這樣的思想”。這就是李約瑟的觀點(diǎn)，當(dāng)然也是巴爾德的觀點(diǎn)。

以上引用材料均見于李約瑟在《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》中對(duì)這一問(wèn)題的爭(zhēng)論的總結(jié)，下面總結(jié)一下葛蘭言與巴爾德所代表的學(xué)術(shù)界的一致性意見：

A．邵雍的《易經(jīng)》解說(shuō)中所表現(xiàn)的抽象順序系統(tǒng)本身就是二進(jìn)位制系統(tǒng)。

B．假如這種順序關(guān)系本身對(duì)他們來(lái)說(shuō)是有意義的，也就是說(shuō)，意識(shí)到兩符號(hào)(即陰爻和陽(yáng)爻)的組合可以用來(lái)表示順序，甚至已經(jīng)用來(lái)表示順序，那么他們就已發(fā)現(xiàn)了二進(jìn)位制，或者說(shuō)，他們對(duì)位值和零有了某種理解；

C．反之，假如不是有意而是碰巧排出來(lái)的，他們就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)二進(jìn)位制，也就是說(shuō)，并不能用來(lái)說(shuō)明他們對(duì)位值和零有了某種理解。

D．一致性意見是：他們是碰巧排出來(lái)的并不是有意用來(lái)排序的，所以僅僅是與萊氏不謀而合的抽象順序系統(tǒng)而已。

可見關(guān)鍵是意識(shí)到還是沒(méi)意識(shí)到這種抽象順序，亦即意識(shí)到與否兩符號(hào)(即陰爻和陽(yáng)爻)的組合可以用來(lái)表示順序。答案是顯然的，因?yàn)檫@正是先天易的特點(diǎn)。

其實(shí)，要是像他們所說(shuō)的那樣是“碰巧”而非“有意”，那才是大大的奇跡呢！下面我們先算算這種概率。

“與萊氏的數(shù)不謀而合的抽象順序系統(tǒng)”是指伏羲六十四卦次序圖和方位圖。實(shí)際上圖中共有三個(gè)排序，均符合二進(jìn)位制法則。每一個(gè)碰巧排出的概率均約為2/64!，即大約為1/1089，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于不可能事件的概率要求。假如是“碰巧”而非“有意”排出，則三個(gè)排序互為獨(dú)立事件，同時(shí)得到的概率約為1/10267，當(dāng)然也是絕對(duì)的不可能事件。為了幫助形象地理解這個(gè)概率，下面作個(gè)說(shuō)明。根據(jù)相對(duì)論和量子力學(xué)的共同要求，宇宙中有靜質(zhì)量的基本粒子總數(shù)上限是1080，宇宙從生到滅約有150億（1.5×1010）年，一年約有三千萬(wàn)（3×107）秒，人生百年約有3×109秒，整個(gè)宇宙“一生”約有5×1017秒?？梢娪行┰捳f(shuō)起來(lái)輕巧，其實(shí)并沒(méi)那么簡(jiǎn)單，假設(shè)整個(gè)宇宙從誕生到滅亡的所有時(shí)間內(nèi)都在按葛蘭言所說(shuō)的方法進(jìn)行無(wú)意識(shí)的排序活動(dòng)，也不可能為碰巧說(shuō)提供概率上的保證。因此，先天易圖只能是有意的而非碰巧的排列結(jié)果。實(shí)際上大量的古代文獻(xiàn)雄辯地證實(shí)了這一點(diǎn)，如圖的名稱就是卦序圖或次序圖，即已直截了當(dāng)點(diǎn)明圖是次序圖，用于排序，并說(shuō)明是用“一分為二，二分為，四分為八……”的方式構(gòu)造的，既然是排次序，圖中符號(hào)系列即是序號(hào)。這里從概率的角度加以論證是為了說(shuō)明即使在沒(méi)有其他文獻(xiàn)的情況下也不能輕易下“碰巧”的結(jié)論。另外葛氏等人把作為人類智能活動(dòng)的產(chǎn)物與自然存在混為一談，進(jìn)行偷換概念也是相當(dāng)不合適的。按照他們的邏輯，早在牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律之前的150億年，萬(wàn)有引力定律“可以說(shuō)是在一種十分真實(shí)的意義上”“就已經(jīng)被用來(lái)構(gòu)造”宇宙中物質(zhì)系統(tǒng)啦。

二、愛頓用分離表解釋先天圖

還有一位英國(guó)的E.J.愛頓在80年代為邵雍先天圖的產(chǎn)生設(shè)計(jì)了一個(gè)極有創(chuàng)造性的莫名其妙的明暗兩種矩形投影分離表，據(jù)稱用這種投影分離表可以復(fù)原先天圖，這位富有想象力的學(xué)問(wèn)家于是斷言，盡管白晉寄給萊布尼茲的木版伏羲六爻排列圖“確實(shí)表現(xiàn)出與某種數(shù)的體系的相似性”，但是，它“是邵雍利用分離表復(fù)原而成的。明暗兩種矩形分別加以區(qū)別的伏羲排列圖的六爻組成，并不能使人想到它與容易理解的數(shù)體系的聯(lián)系。”當(dāng)時(shí)權(quán)威學(xué)術(shù)刊物的《科學(xué)史譯叢》隨即進(jìn)行了翻譯介紹，成為十幾年來(lái)的一個(gè)學(xué)術(shù)棍子，有的權(quán)威人士甚至認(rèn)為應(yīng)把有關(guān)周易與二進(jìn)位制的討論當(dāng)成國(guó)恥來(lái)看待。E.J.愛頓的結(jié)論成了最新的權(quán)威結(jié)論，在各種文獻(xiàn)中的引證不下千次，竟沒(méi)有一個(gè)引證中對(duì)這個(gè)莫名其妙的分離表表示懷疑，樂(lè)于以此為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)甚至終極真理的中國(guó)學(xué)者，似乎并不樂(lè)于花半小時(shí)的時(shí)間查證一下相關(guān)的古代原著。也許是在一段時(shí)期內(nèi)，對(duì)學(xué)術(shù)問(wèn)題進(jìn)行缺席審判早已為大家所熟視了，而且怕踩高壓線、跟風(fēng)附和似乎已經(jīng)形成了慣性，老成之士當(dāng)然也樂(lè)于繼續(xù)慣下去。

三、萊布尼茲說(shuō)了些什么

其實(shí)，萊布尼茲本人對(duì)二進(jìn)制的研究到底到了什么程度，諸公很少論及。英國(guó)哲學(xué)史學(xué)會(huì)秘書、萊布尼茲學(xué)會(huì)負(fù)責(zé)人麥唐納．羅斯教授的教科書《萊布尼茲》第二章《數(shù)學(xué)》的第二節(jié)《二進(jìn)位制算法》中在充分介紹和高度評(píng)價(jià)二進(jìn)制本身的偉大意義之后指出，二進(jìn)制對(duì)萊布尼茲來(lái)說(shuō)“除了一個(gè)非常模糊的草稿而外”，更重要的意義是“神而上的”，而且與他的發(fā)明計(jì)算器算法毫無(wú)關(guān)系。這個(gè)“非常模糊的草稿”本身羅斯并沒(méi)有太大興趣，于是他用不少筆墨引用萊布尼茲的“神而上”文獻(xiàn)?，F(xiàn)摘如下：

或許只有一個(gè)東西能夠獨(dú)立地被設(shè)想，那就是神本身——還有無(wú)，或者說(shuō)不存在。這可以通過(guò)一個(gè)極好的類比弄清楚，……〔他概略地論述了二進(jìn)制記數(shù)法，并繼續(xù)說(shuō)：〕我這里不打算論述這種體系的巨大用處；只要指出所有的數(shù)通過(guò)一和無(wú)的方式加以表達(dá)是何等的美妙就足夠了。然而，盡管事物隱秘的秩序使一切事物都產(chǎn)生于純存在和無(wú)這點(diǎn)成為自明的，而人們并無(wú)希望在此生中就能達(dá)到這種秩序，但是對(duì)觀念的分析來(lái)說(shuō)，進(jìn)行證明真理所必須的程度也就足夠了。

羅斯接著寫道：

萊布尼茲對(duì)這個(gè)思想感到很驕傲，以致他打算用一個(gè)刻有銘文的紀(jì)念章來(lái)紀(jì)念它。銘文是：“G.W.萊布尼茲所發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造物的典型。”以及“為了從無(wú)中派生出一切來(lái)，一就夠了。”

羅斯在總結(jié)性評(píng)價(jià)中說(shuō)，“僅就與萊布尼茲有關(guān)而言，這一發(fā)現(xiàn)最重大的意義是形而上學(xué)方面的，或者更確切地說(shuō)是神而上的，因?yàn)樗f(shuō)明了整個(gè)宇宙如何可以看成是由數(shù)所構(gòu)成的。”對(duì)邵雍數(shù)學(xué)學(xué)派比較熟悉的專家不難發(fā)現(xiàn)，上述觀點(diǎn)似曾相識(shí)，兩者有沒(méi)有內(nèi)在聯(lián)系，還須請(qǐng)熟悉中西比較的專家從更大視角加以研究。