導語：如何才能寫好一篇數(shù)學分析，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、他人的經驗及方法

把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人，每人少分，則物品有余（盈）；每人多分，則物品不足（虧）。已知所盈和所虧的數(shù)量及兩次每人所分的數(shù)量，求人數(shù)的應用題叫盈虧問題。

盈虧問題的基本解法是：份數(shù)=（盈+虧）÷兩次分配數(shù)的差；

物品總數(shù)=每份個數(shù)×份數(shù)±盈虧數(shù)。

解答盈虧問題的關鍵是要求出總差額和兩次分配的數(shù)量差，然后利用基本公式求出分配人數(shù)，進而求出物品的數(shù)量。

趣味數(shù)學之《木長幾何》――《孫子算經》里有這樣一道題：今有木，不知長短。引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺。木長幾何？（屈繩的意思是把繩子對折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）

分析：用繩量木，繩子多出4.5尺，把繩對折再量，繩子又短1尺，可推出單股繩子比對折起來長5.5尺，多出的5.5尺正好是繩子的一半（如圖）。

解答：繩子的長度：（4.5+1）×2=11（尺）

木料的長度：11-4.5=6.5（尺）

答：（略）

分析中，“用繩量木，繩子多出4.5尺，把繩對折再量，繩子又短1尺，可推出單股繩子比對折起來長5.5尺?！边@里用到了一點點“盈虧問題”。為什么這樣說呢？遇到類似問題還能用這種方法解答嗎？請關注下面的內容。

二、建立數(shù)學模型

他人的方法及經驗看似簡單易行，可事實并非如此。學生機械地套用公式，并不完全理解解題思路，題目稍加變化，他們又束手無策了。

筆者引導學生先分析并找出“盈虧問題”的特點――它就是兩種有余數(shù)的除法，再根據(jù)有余數(shù)除法各部分間的關系，建立“盈虧問題”總的數(shù)學模型：

“盈虧問題”總的數(shù)學模型中兩次被平均分的總數(shù)――被除數(shù)是一定（不變）的；平均分的標準不同，我們歸納為兩種，即除數(shù)1和除數(shù)2；分得的結果中的份數(shù)――商也是一定（不變）的，分得的結果中的余數(shù)――盈虧數(shù)則不同，我們把它們分別定義為余數(shù)1和余數(shù)2。當被除數(shù)和商不變時，除數(shù)變大，余數(shù)則會變小，反之。

兩次分得的余數(shù)之間的差，我們把它定義為“總差”，兩次平均分的標準之間的差，我們把它定義為“小差”。正因為有分得的結果之一“商”那么多個“小差”才匯成最后結果之二“余數(shù)”間的“總差”，即“小差×商=總差”。于是，關鍵問題“商”就得到解決：商=總差÷小差。

如“幼兒園買來一些玩具，如果每班分7個玩具，則多出2個玩具；如果每班分10個玩具，則差13個玩具，幼兒園有幾個班？這批玩具有多少個？”的數(shù)學模型：

三、進行數(shù)學分析

根據(jù)建好的數(shù)學模型，我們進行“盈虧問題”的數(shù)學分析：

從上面的模型中可以看出：

第二種分法的總個數(shù)比第一種分法的總個數(shù)多（2+13）個為“總差”，第二種分法比第一種分法每班多分（10-7）個為“小差”，每班多分的“小差”乘班數(shù)就等于最后的“總差”。由此可以求出幼兒園共幾班這個關鍵問題。

這個幼兒園有（2+13）÷（10-7）=5（班）

求出了模型中的商，再根據(jù)有余數(shù)的除法中“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”就可求出這批玩具共有多少個了。

這批玩具有7×5+2=37（個）或10×5-13=37（個）

答：（略）

四、適時推廣應用

我們通過建立數(shù)學模型和進行數(shù)學分析，掌握了“盈虧問題”的解題方法，適當增加難度，加以推廣應用。

1.用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多5米，如果繩子三折時，差1米。求繩子長度和井深。（提示：繩子兩折即把繩子平均分成兩份，三折即三股。）

很明顯，該題不能用“他人的經驗及方法”之《木長幾何》的方法來進行解答。而《木長幾何》題目卻能用“盈虧問題”的模型來進行分析和解答。

2.小宏從家到校上學，出發(fā)時他看看表，發(fā)現(xiàn)如果每分鐘步行80米，他將遲到5分鐘；如果先步行10分鐘后，再改成騎車每分鐘行200米，他就可以提前1分鐘到校。問小宏從家出發(fā)時離上學時間有幾分鐘？

觀察分析，這兩題都屬“盈虧問題”，只是題中的“盈虧（余數(shù)）”不是現(xiàn)成的，需要首先求出。

第1題的數(shù)學模型及數(shù)學分析：

井深：（5×2+1×3）÷（3-2）=13（米）

繩長：2×13+5×2=36（米）或（13+5）×2=36（米）

答：（略）

《木長幾何》數(shù)學模型及數(shù)學分析：

木長：（4.5×1+1×2）÷（2-1）=6.5（尺）

繩長：6.5+4.5=11（尺）或（6.5-1）×2=11（尺）

答：（略）

通過比較《木長幾何》的兩種方法，我們發(fā)現(xiàn)，他人的經驗及方法具有局限性，只能用于特例；而我們的“盈虧問題”模型具有通用性，只要是“盈虧問題”都能用它來解答。

第2題的數(shù)學模型及數(shù)學分析――

“余數(shù)1”：80×5=400（米）

求“余數(shù)2”步驟多一些。

①10分鐘的步行改成騎車要提前：10-80×10÷200=6（分）

②假如他騎車一直騎到上學時間到時會多行：200×（6+1）=1400（米）

“余數(shù)2”也可：（200-80）×10+200×1=1400（米）

小宏從家出發(fā)時離上學有：（400+1400）÷（200-80）=15（分）

答：（略）

我相信，只要堅持讓學生按數(shù)學模型來讀題、抄題，數(shù)學分析就更加容易和明了，他們就會更好地解決各種數(shù)學難題。

篇2

【關鍵詞】輔助函數(shù) 構造 應用

【基金項目】江西省教育廳（JXJG-12-15-11）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0158-02

在解題過程中，根據(jù)問題的條件與結論的特點，通過逆向分析，綜合運用數(shù)學基本概念和原理，經過深入的思考、縝密的觀察和廣泛的聯(lián)想，構造出一個與問題有關的函數(shù)，通過對函數(shù)特征的考查達到解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構造函數(shù)法。

構造函數(shù)的方法內涵十分豐富，沒有固定的模式和方法，構造過程充分體現(xiàn)出了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析與化歸等思想。使用構造函數(shù)法是一種創(chuàng)造性的思維活動，一般無章可循，它要求既要有深厚堅實的基礎知識背景，又要有豐富的想象力和敏銳的洞察力，針對問題的具體特點而采用相應的構造方法，常可使論證過程簡潔明了。

1.數(shù)學分析中如何構造輔助函數(shù)

1.1 輔助函數(shù)的基本特點

a.輔助函數(shù)題設中沒有，結論中也不存在，構造輔助函數(shù)僅是解題的一個中間過程，類似于平面幾何中的輔助線，起輔助解題的作用，如我們熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明。

b.同一個命題可構造不同的輔助函數(shù)用于解題（不唯一）。

c.表面上看構造輔助函數(shù)的思路較寬廣（因為不止一個），實質上，不同的輔助函數(shù)直接關系到解題的難易（可比較性），因此，構造最恰當?shù)妮o助函數(shù)是解題的關鍵。

1.2 構造輔助函數(shù)的基本方法

1.2.1 聯(lián)想分析

要構造一個與所學結果有關的輔助函數(shù)，而后再運用已知條件及有關概念，推理得出所要證明的結果，通常是先從一個愿望出發(fā)，聯(lián)想起某種曾經用過的方法、手段、而后借助于這些方法、手段去接近目標，或者再從這些方法和手段出發(fā)又去聯(lián)想別的通向目標的方法和手段，這樣繼續(xù)下去，直至達到我們能力所及的起點或把問題歸結到一個明顯成立的結論為止，因此，聯(lián)想是我們構造輔助函數(shù)的關鍵。

例1 已知x>0，證明x-■x2

這是一個含有變量不等式的證明，可以考慮通過移項將不等式化為大于0（或小于0）的形式，然后直接構造輔助函數(shù)F（x）通過F′（x）在（a，b）上恒正（或負），知F（x）>F（a）（或F（x）F（x′）（或F（x）

1.2.2 對比分析

運用所學過的相關知識如定積分的定義；定積分計算中的矩形法、梯形法等，結合具體問題進行分析對比，構造輔助函數(shù)。

例2 ■[■+■+…+■]。

這是一個和式的極限，該和式又不能直接求和化簡，因而一般方法行不通，由定積分定義求和，定積分也是一個和式的極限，我們將和式的極限與定積分的定義式進行對比：

■f（x）dx=■■f（ξ）xi

■[■+■+…+■]=■■■

=■■■?■

對比后之后我們不難發(fā)現(xiàn)需要構造的輔助函數(shù)為f（x）=■，[0，1]

解：

■[■+■+…+■]

=■■■=■■■?■=■■dx=ln（1+x）|■■=ln2

1.2.3 綜合分析

有些命題通過分析，解題中確需構造輔助函數(shù)，但上述兩種方法都無從下手，這時就需要逆推分析或雙推分析（指由條件和結論同時進行推理分析，以期得出某個相同的中間命題），先得出要構造的輔助函數(shù)的一些特征（性質），然后再根據(jù)這些性質構造輔助函數(shù)，即使較為復雜的問題，同樣也能構造出恰當?shù)妮o助函數(shù)。

例3 設函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導（0

此結論中涉及兩點，因此需要應用微分中值定理，且只用拉格朗日中值定理還不夠，還需要用柯西中值定理，為此只有一個函數(shù)f（x）還不行，還需再構造一個函數(shù)g（x），假設g（x）已確定，且滿足柯西中值定理的條件，則（a，b）在上至少存在一點η，使得

■=■ （1）

又因為f（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以在（a，b）上至少存在一點ξ，使得

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a） （2）

由（1），（2）知：

f′（ξ）=■f′（η），ξ，η∈（a，b）

這與欲證結論進行對照不難發(fā)現(xiàn)需構造的函數(shù)g（x）需具有如下性質：

g′（x）=x，g（a）=0，g（b）=■（或g（b）-g（a）=■）

如果對變上限的積分較熟悉，自然就會想到：g（x）=■tdt，x∈[a，b]

證：設輔助函數(shù)g（x）=■tdt，x∈[a，b]

則g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導，且g′（x）=x≠0，g（b）-g（a）=■（b2-a2）

由柯西中值定理知：？堝η∈（a，b），使得■=■=■

所以η（f（b）-f（a））=f′（η）?（g（b）-g（a））=f′（η）?■（b2-a2）

又因為f（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，

所以？堝ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

代入上式得η?f′（ξ）?（b-a）=f′（η）?■（b2-a2），故f′（ξ）=■f′（η）。

總之，輔助函數(shù)離不開分析，推理和聯(lián)想，恰當?shù)臉嬎?、巧妙的假設、充分的推理論證是每個研究數(shù)學分析的人們所不可缺少的數(shù)學修養(yǎng)和素質。

2.構造輔助函數(shù)在數(shù)學分析中幾個方面的應用

2.1 輔助函數(shù)在討論根的存在性問題中的應用

例4 證明：設函數(shù)f（x）在[0，2a]上連續(xù)，且f（0）=f（2a），則在[0，a]上至少有一點，使f（x）=f（x+a）。

證：令F（x）=f（x）-f（x+a），則因為f（x）在[0，2a]上連續(xù)，f（x+a）在[0，a]上連續(xù)，所以f（x）在[0，a]上連續(xù)。

由于F（0）=f（0）-f（a），

F（a）=f（a）-f（2a）=-[f（0）-f（a）]，

故若f（0）-f（a）=0，則f（a）=f（0）=f（2a），即當x=a時，有f（x）=f（x+a）。

若f（0）-f（a）≠0，則F（0）F（a）

2.2 輔助函數(shù)在應用微分中值定理證題中的應用

微分中值定理主要是指三大微分中值定理，即羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。解決這類相關命題的問題，構造恰當?shù)妮o助函數(shù)是關鍵。在前面綜合分析中的例3，我們已經利用構造輔助函數(shù)解決了一些微分中值定理相關的命題。

2.3 輔助函數(shù)在不等式證明中的應用

在不等式證明的問題中，構造恰當?shù)妮o助函數(shù)是關鍵，可以將不等式通過恒等變形，將結論轉化為容易消除導數(shù)符號的形式。

作輔助函數(shù)的目的是化未知為已知、化難為易、化繁為簡。在數(shù)學分析的教學過程中，有意識地培養(yǎng)學生掌握構造法并且能夠運用構造函數(shù)法來解決問題，有助于他們加深和概括所學知識、拓寬視野、培養(yǎng)學生良好的邏輯思維能力。

參考文獻：

[1]孫清華等. 工程數(shù)學分析習題與例題解析[M]. 武漢：華中科技大學出版社，2002.

[2]陳國干. 高等數(shù)學中如何構造輔助函數(shù)[J]. 江蘇廣播電視大學學報，1996，10（2）：27-28.

篇3

關鍵詞：MATLAB；數(shù)學分析；繪圖

中圖分類號：O1-4

在高等學校中，數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課，傳統(tǒng)的教學模式主要由教師講解定義、定理、公式，進行計算或證明；造成了在學習過程中被動學習，難以將數(shù)學知識理解透徹。而將MATLAB應用在數(shù)學分析的教學中，第一可以加強學生對抽象理論的理解，將抽象理論形象化，更深入地理解理論的本質精髓；第二是在實驗中可以提高學生的計算速度及能力，將繁難的計算通過計算機簡單地求解，節(jié)省時間。本文結合數(shù)學分析這門課程和MATLAB軟件的特點，闡述了MATLAB軟件在數(shù)學分析教學中的3種運用。

1 MATLAB的繪圖功能在數(shù)學分析教學中的應用

在數(shù)學分析的教學中，經常會碰到空間立體圖形（旋轉體）的繪制，如果這類圖形在傳統(tǒng)的教學中的繪制往往復雜，耗時耗力，并難以得到理想的圖形和效果。如使用MATLAB 來解決所遇到的這些圖形問題，能達到事半功倍的效果。

例1：畫出函數(shù)z=x2繞z軸旋轉所得旋轉體圖形。

z=f（x）圍繞z軸旋轉，則將等式改寫成z=f（r），x和y則用笛卡爾坐標轉換得到：

x=rcos（θ）

y=rsin（θ）

相應的MATLAB程序如下：

s=100；x=linspace（0，5，s）；th=linspace（0，2*pi，s）；

[xx，tth]=meshgrid（x，th）；

subplot（1，2，2）rr=xx；

zz=rr.^2；xx=rr.*cos（tth）；

yy=rr.*sin（tth）；

surf（xx，yy，zz）

相應的旋轉體圖形如圖1所示：

圖1 函數(shù)z=x2繞z軸旋轉所得圖形

2 MATLAB在數(shù)學分析中插值問題的應用

數(shù)學分析中遇到的許多問題是只給出[a，b]上部分變量的函數(shù)值，這些數(shù)據(jù)點反映了一個函數(shù)關系y=f（x），然而并不知道f（x）的解析式。數(shù)據(jù)插值的任務就是根據(jù)那些點構造一個函數(shù)y=g（x），用g（x）近似f（x）。MATLAB提供了一維、二維、三維及N維數(shù)據(jù)插值函數(shù)。下面以二維數(shù)據(jù)插值為例。

例2：某實驗室對一根長5m的材料進行熱源的溫度傳播測試，x表示測量點距離，h表示時間，t表示測得各點的溫度，結果如下：

用3次樣條插值求出在60秒鐘每個10秒，材料每隔0.5m的溫度。相應的MATLAB程序如下：

x=0：2.5：10；h=0：30：60；

t=[85，4，0，0，0；78，38，22，2，0；57，54，44，38，31]；

x1=[0：0.5：60]； h1=[0：10：60]'；

t1=interp2（x，h，t，x1，h1，'spline'）；mesh（x1，h1，t1）

結果如圖2所示：

圖2 用3次樣條插值得到的溫度分布圖

3 MATLAB在極限中的應用

極限是數(shù)學分析的基礎，對于初學者來說，極限的概念理解起來很困難，利用MATLAB的作圖功能達到幾何圖形可視化的效果，有助于深刻地把握極限的內涵。

例3 求極限

syms x

f=x^2*sin（1/x）；

y=limit（f，x，0）

得到了函數(shù)極限為0。除此之外，利用MATLAB強大的畫圖功能給出函數(shù)的圖形，從而直觀地觀察得出要求解的極限問題。輸入如下語句：

subplot（1，2，1）

fplot（'sin（1/x）'，[-0.0001，0.0001]）

subplot（1，2，2）

fplot（'x^2*sin（1/x）'，[-0.0001，0.0001]）

便可以得到以下圖形：

圖3 圖4

當x趨于0時，如圖3所示，的值在-1與1之間來回波動有界，但沒有極限，x=0是函數(shù)的振蕩間斷點。如圖4所示，的值不斷振蕩，但趨近于0。從而也驗證了有界函數(shù)與無窮小量的積為無窮小量。

本文利用MATLAB的強大的繪圖和數(shù)據(jù)處理功能，將數(shù)學分析教學中遇到的抽象的、難以理解的內容和復雜的運算，盡可能以圖形和數(shù)據(jù)的方式表達出來，這有利于提高學生對學習數(shù)學分析的興趣。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2010：145，227.

篇4

數(shù)學分析入門教材有許多，如：

1、《數(shù)學分析第四版上冊》，2010年7月高等教育出版的圖書，作者是華東師范大學數(shù)學系。普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材。內容包括實數(shù)集與函數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)和微分、微分中值定理及其應用、實數(shù)的完備性、不定積分、定積分、定積分的應用、反常積分等，附錄為微積分學簡史、實數(shù)理論、積分表；

2、《數(shù)學分析原理》，1976年出版的圖書，作者是Walter Rudin。涵蓋了高等微積分學的豐富內容，精彩的部分集中在基礎拓撲結構、

（來源：文章屋網 ）

篇5

關鍵詞：數(shù)學分析；考核方式；調查

資助項目：西北農林科技大學2013年校級教學改革研究項目“高等數(shù)學建模教學法研究――農林類高等數(shù)學課程教學的繼續(xù)改革與實踐”[項目編號： JY1302096]。

作者簡介：李明華（1984―），男，山東濰坊人，理學博士，西北農林科技大學理學院講師，研究方向：最優(yōu)化理論與方法。一、在學習數(shù)學分析過程中的不良現(xiàn)象筆者在2012年9月～2013年11月給信息與計算科學專業(yè)2012級62名學生講授數(shù)學分析（華東師范大學數(shù)學系編寫的《數(shù)學分析》第四版），考核方式是平時以交作業(yè)為主（占總成績的30%）和期末考試（占70%）兩種方式，但是通過前兩個學期的作業(yè)和考試試卷答題情況，發(fā)現(xiàn)有如下問題存在：①作業(yè)完成不認真，書寫潦草，符號不規(guī)范，計算過程過于簡略；②作業(yè)的證明或計算版本一般在3個左右，或出自某一同學之手，或出自參考書上的答案，抄襲現(xiàn)象嚴重；③考試中很多答案都是答非所問。

針對上述三種情況，筆者專門抽查了幾位學生來了解具體情況。加上之前對他們的初步了解，把學生大致分為如下幾種類型：

（1）對數(shù)學愛好的：10人左右，他們學習數(shù)學的方法還停留在高中時的思維習慣上。

（2）對數(shù)學算不上很感興趣，也算不上討厭的：20人左右，他們學習數(shù)學沒有壓力但動力不足，只是為了完成任務而學習。

（3）對數(shù)學有厭煩感的：15人左右，他們進入大學以來，感覺數(shù)學分析不是他們想象中的高等數(shù)學，于是產生了迷茫和畏難情緒。

（4）對數(shù)學比較厭煩的：10人左右，這些學生是高考時志愿被調劑到信息與計算科學這個專業(yè)的，本身在填報志愿時根本沒有選擇數(shù)學這個專業(yè)。

（5）其他：5人，因為大一時調專業(yè)或其他一些情況，離開該專業(yè)的學生，此類學生不在后續(xù)的調查范圍之內。

經過這次初步了解，上述（1）中的學生，學習方法和學習理念上需要加以調整。（2）（3）中的學生還是愿意學數(shù)學分析的，只是對數(shù)學分析中理論的推導不知道該如何下手。而（4）中的學生，他們是希望能了解或理解所學的內容的，但僅憑課堂上的講授對他們來說還不充分。

二、平時考核方式的轉變1考核題目

針對第二十章曲線積分、第二十一章重積分和第二十二章曲面積分，筆者給學生布置了如下三個題目：

（1）第一類曲線積分和第二類曲線積分的區(qū)別和聯(lián)系（概念的理解、兩類曲線積分的聯(lián)系等）。

（2）針對三重積分，解釋柱面坐標變換和球面坐標變換，并分別用兩種方法來計算如下兩個題目：

例1，計算Vz2dxdydz，其中V由x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz所確定。

例2，求由x2+y2=az和z=2a-x2+y2所圍成的立體圖形的體積。

（3）總結第二類曲面積分的各種計算方法，并分別用來計算如下題目：

例3，計算S（x+y）dydz+（y+z）dzdx+（z+x）dxdy，其中S是以原點為中心，邊長為2的立方體表面并取外側為正向。同時，證明斯托克斯公式。

筆者認為以上三個題目如果能弄清楚，對這三章內容的學習將會非常有幫助。而且第一個問題（1）對理解第二十二章兩類曲面積分之間的聯(lián)系有較大幫助。第二個題目（2）對重積分的計算和各種變換方法的理解也幫助不小。第三個題目（3）對第二類曲面積分中的方向性的理解也會加深印象且可以掌握歐拉公式。并且證明斯托克斯公式可以把格林公式、第二類曲面積分的計算方法及兩類曲面積分的關系都很好地融會貫通起來。因此，筆者認為如果學生能弄清楚上述三個題目，那么對本學期的主要內容就有了基本的掌握。

2考核方式

學生在課下弄清楚之后，給筆者講解。

3考核對象

2012級信息與計算科學專業(yè)57名

學生。

4考核目的

筆者希望通過這樣的考核方式，與學生探討如下問題：

（1）大學課堂上的講授不同于高中課堂，不再是反復講解一個問題，要弄清楚所學內容，需要自己課下與同學討論，或者到圖書館查看相關書籍，或者在網上搜索相關學校的講課視頻，總之，要學懂數(shù)學分析，老師僅僅是引路人，關鍵看自己。

（2）課堂上講的內容僅僅是一種理解方法，或者說僅僅是重點講授，并不夠全面，離大家真正搞清楚所學內容還有很大距離。

（3）雖然老師講的，學生有可能沒有完全消化，但是老師沒有講的，學生在一定的基礎上，通過各種方式完全有可能去理解透徹，事在人為。

（4）在課下學習過程中，學生也可能會遇到一些問題，這些問題可能老師并沒有強調，卻困擾著自己，此時自己也完全可以憑借各種方式去解決這些問題。

（5）學生可能覺得自己對這個問題已經很清楚，但是面對老師卻可能講解不出來，或者在講解過程中出現(xiàn)一些自己之前沒有想到的問題。

（6）數(shù)學問題經過同學間的討論會變得越來越清晰，而且可能會從其他同學那借鑒不同的理解方式和思路。

三、考核效果

（1）傾向后者考核方式的學生為：43人；傾向前者考核方式的學生為：14人。

（2）同意后者考核方式的學生提出了如下建議：①題目應具有一定的探究性；②學生組成小組討論某章節(jié)的內容，然后課堂時間講授；③題目能有一定應用；④在未講授某章節(jié)之前，讓學生自己預習去解決相關題目；⑤前后題目的設計上關聯(lián)性更強一些；⑥題目量稍多一些，涵蓋面更廣一些。

從整體上來看，支持第二種考核方式的學生比較多，不支持第二種考核方式的學生大多是對數(shù)學比較不感興趣的。因此，筆者認為第二考核方式是比較有效的，但是還需要從多個方面去改進這種方式，如上述學生所提的建議都很不錯。

數(shù)學分析這門課程無論是哪個版本，展現(xiàn)給學生的都是思考的結果而非思考的過程。所以教師在講授的過程中，難免是授人以魚，而達不到授之以漁的目的。而筆者認為采用平時考核方式恰恰是要教會學生學數(shù)學的方法。

參考文獻：

曹明.淺談數(shù)學分析課程的教學感悟.陜西教育?高教版，2013（7）.

篇6

本書共有6章，3個附錄。1.可和函數(shù)空間與偏微分方程，內容包括傅里葉級數(shù)與偏微分方程、勒貝格空間、索伯列夫空間；偏微分方程存在性理論； 2.凸集與凸函數(shù)， 內容包括凸集、正常凸函數(shù)、凸對偶、凸性的作用、凸性的一般逼近；3.變分法的形式體系，內容包括拉格朗日形式體系和經典哈密頓形式體系； 4.微分形式，內容包括多重向量與余向量、微分k齊式的積分、斯托克斯定理、向量演算、閉型與正合型；5.測度與積分法，內容包括測度、可測函數(shù)與積分、積空間與測度、勒貝格積分中的變量的變化；6.豪斯多夫測度與拉東測度，內容包括抽象測度、測度微分法、豪斯多夫測度、面積與共面積公式。最后是附錄A.數(shù)學家與其他科學家；附錄B.文獻注釋；附錄C.索引。每一章結尾都有練習題。

本書的兩位作者是《數(shù)學分析》（Mathematical Analysis）叢書的作者，這套叢書還包括其它4冊圖書：《數(shù)學分析：單元函數(shù)》（Mathematical Analysis： Functions of one Variable）；《數(shù)學分析：近似與離散過程》（Mathematical Analysis： Approximation and Discrete Processes）；《數(shù)學分析：線性與度量結構及連續(xù)性》（Mathematical Analysis：Linear and Metric Structures and Continuity）；《數(shù)學分析：多元函數(shù)入門》（Mathematical Analysis：An Introduction to Functions of Several Variables）。

《函數(shù)分析及其應用》（Journal of Analysis and Its Applications）雜志對這一套數(shù)學分析叢書已經出版的各卷作了如下的評論：“相關理論的內容介紹得很清晰，所有的定理都具有嚴謹?shù)淖C明，每一章均給出小結，結尾給出具有不同程度要求的練習題……適合數(shù)學、物理、工程、計算機科學和所有技術和科學系的學生閱讀?！?/p>

本書可以用作大學高年級學生及研究生課程的補充教科書或者自學讀物，也可以作為數(shù)學、物理及工程研究人員有價值的參考書。包括本書在內，這套叢書的共5本書所具有的關鍵優(yōu)勢之一是通過例題、觀察、練習及圖表來激發(fā)起讀者理解主題的學習興趣。

篇7

【關鍵詞】復變函數(shù) 數(shù)學分析 應用

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）22-0097-02

復變函數(shù)是數(shù)學分析的一門后續(xù)課，數(shù)學分析是在實數(shù)域上建立起來的一門學科，而復變函數(shù)是在復數(shù)域上來研究一些相關問題而產生的。雖然這兩門學科研究的數(shù)域不同，但它們具有一些相同的定理和性質，在許多定義上也是相同的。從而這兩門學科之間存在著密不可分的聯(lián)系，其中一個重要的聯(lián)系是兩者之間有一定的相互應用關系。下面從兩個方面談談復變函數(shù)與數(shù)學分析之間的一些具體相互應用。

一 數(shù)學分析在復變函數(shù)中的應用

由復變函數(shù)的定義可知，一個復變函數(shù)實際上是由兩個二元實函數(shù)所確定的，即對任意在定義域內的z=x+yi，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），其中x，y，u，v都為實數(shù)。因此研究復變函數(shù)的一些性質可以通過研究這兩個二元實函數(shù)來解決。下面主要介紹數(shù)學分析知識在復變函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性三方面的應用。

1.在連續(xù)性中的應用

定義：設函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在集E上

確定，并且集E的聚點z0∈E，如果 ，則f（z）

在點z0連續(xù)。

由于 =f（z0）=u

（x0，y0）+iv（x0，y0），所以可由二元實函數(shù)u（x，y）和v（x，y）在點（x0，y0）處的連續(xù)性判斷f（z）在點z0的連續(xù)性。

例1：判斷f（z）=Rez在z=1+i點處的連續(xù)性。

解：令z=x+yi，則f（z）=Rez=x，即u（x，y）=x，v（x，y）=0。

因此有 f（1+i），所以f（z）=

Rez在z=1+i點處連續(xù)。

2.在可微性中的應用

在復變函數(shù)和數(shù)學分析中可微的定義是相同的，由它們的定義可得下面的定理。

定理1：設函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區(qū)域D內確定，那么f（z）在點z=x+yi∈D可微的充要條件是：在點（x，y）處u（x，y）和v（x，y）可微，并且滿足柯西

黎曼條件 ， 。

例2：判斷函數(shù)f（z）=z2的可微性。

解：f（z）=z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi，因此有u

（x，y）=x2-y2，v（x，y）=2xy， ， ，

由u（x，y）和v（x，y）在R2平面上處處可微，并且滿足柯西黎曼條件，可得函數(shù)f（z）=z2在復平面C上處處可微。

3.在可積性中的應用

由復變函數(shù)的積分定義可知：

dx+u

（x，y）dy，從而可以通過計算二元實函數(shù)的第二型曲線積分來計算復變函數(shù)的積分。

例3：計算積分 ，其中L為單位圓取逆時針方向。

解：由f（z）=Rez=x可得u（x，y）=x，v（x，y）

=0，因為L為單位圓取逆時針方向，所以可令 ，

0≤θ≤2π，

。

二 復變函數(shù)在數(shù)學分析中的應用

由于不是所有可積函數(shù)都可求出其原函數(shù)，因此在數(shù)學分析中要求出一些積分值是很困難的。而其中有一些積分可利用復變函數(shù)的留數(shù)知識來計算。下面介紹利用留數(shù)計算三種類型的實積分。

1.計算 型積分

在該類積分中令z=eit，則 ，sin t ，dt

，因此 。

例4：計算積分 ，其中常數(shù)a>1。

解：令z=eit，則sin t ， ，代入積分得I=

。

2.計算 型積分

定理2：設 為有理函數(shù)，其中P（z）=c0zm

+c1zm-1+…+cm（c≠0），Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b≠0）為互質多項式，且符合條件：（1）n-m≥2；（2）在實

軸上Q（z）≠0，于是有

es（f（z）zk）。

例5：計算積分 。

解：令 ，則P（z）=1，Q（z）=（1+z2）2，滿足定理2的條件，從而有

。

3.計算 型積分

定理3：設 為有理函數(shù)，其中P（z）、Q（z）

為互質多項式，且符合條件：（1）Q（z）的次數(shù)比P（z）的

次數(shù)高；（2）在實軸上Q（z）≠0，于是有

。

例6：計算積分 。

解：由eix=cosx+isinx可得cosx為eix的實部，則I為

dx的實部。

因為 ，所以

。

參考文獻

[1]余家榮.復變函數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010

篇8

目前，全國各個地區(qū)正在對中小學課程進行不斷的改革，與此改革相對應的新課標下高中數(shù)學教材己在國內陸續(xù)使用。而現(xiàn)在使用的《數(shù)學分析》教材是在原高中教學大綱的基礎上編寫的，由此產生了數(shù)學分析課程與新課標下的高中數(shù)學教材在銜接上有脫節(jié)現(xiàn)象。為了使學生能夠更好地學好數(shù)學分析這門課程，為后繼課程打下堅實的基礎，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力，筆者根據(jù)近幾年來從事數(shù)學分析課程教學的實踐體會，就數(shù)學分析課程的教學改革提出一些看法。

1新課標下數(shù)學分析課堂教學現(xiàn)狀

1. 1《數(shù)學分析》教材與新課標下的高中數(shù)學教材在內容上出現(xiàn)不連續(xù)的脫節(jié)現(xiàn)象

新課標下高中數(shù)學教材，為適應社會發(fā)展對人才的不同需求，在教學思想、教學理念、教學內容上做了較大的改變，特別是在教學內容做了大量的增加和刪減，由于刪減過多，出現(xiàn)與數(shù)學分析課程內容的脫節(jié)現(xiàn)象。如在數(shù)學分析教材中涉及到反三角函數(shù)的導數(shù)和積分，以及反函數(shù)求導法則等內容，而學生在高中沒有學過反函數(shù)與反三角函數(shù)的相關內容;對于不定積分計算應使用三角函數(shù)的積化和差公式，但新課標下的高中數(shù)學教材中沒有講三角函數(shù)的和差化積與積化和差公式;在數(shù)學分析教材中利用定積分求平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長和二重積分的計算等內容上，都要用到極坐標與參數(shù)方程等相關內容，但新課標下的高中數(shù)學教材中極坐標與參數(shù)方程等內容被弱化了，到了大學學生基本都不知道，從而影響學生對知識的理解。

1.2《數(shù)學分析》教材和新課標下的高中數(shù)學教材在內容上出現(xiàn)較大重復現(xiàn)象

新課標下的高中教材與原來高中教材相比增加了極限、連續(xù)、導數(shù)與微分及其應用、積分及第一換元積分法等數(shù)學分析中的內容，但無論是知識的內涵還是知識的深度等方面的要求都不夠，學生學完這部分知識后仍然似懂非懂，知其然不知其所以然，大部分只是停留在模仿和套用公式的階段。而數(shù)學分析課程在大學第一學期開設，而且第一學期主要講授的內容是一元函數(shù)的極限、連續(xù)、導數(shù)等相關內容，所以很多學生都認為這些內容在高中都學過，對教學內容沒有新鮮感，從而失去了求知欲，學習動力不足，很難入門，這必然會對數(shù)學分析學習產生不好的影響。

1.3課堂教學方式、教學手段單一

數(shù)學分析課程是一門基礎性課程，也是核心課程，該課程在大學一、二年級開設，該課程是學生所有大學課程中課時最多、學分最高的課程。但通過講授該課程發(fā)現(xiàn)，近年來學生抄作業(yè)的現(xiàn)象比較嚴重，期末考試不及格率也逐年上升。經分析出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因，一方面，由于近幾年高考招生規(guī)模的不斷擴大，學生入學水平較低，特別是二本院校，學生的基礎都不是太好，大部分學生投身數(shù)學的興趣不高，很難學懂、學會數(shù)學分析;另一方面，課堂教學方式方法不當。本身數(shù)學分析這門課程的學時就長，而現(xiàn)在大部分數(shù)學分析老師的課堂教學模式都是以灌輸式為主，教學手段也多停留在一支粉筆、一面黑板上，教師細致地講解每一個定理、法則、公式的推導過程，從而導致老師教得累、學生聽得也累，教學效果卻往往不是很好，甚至有時會助長某些學生的依賴思想。在課堂教學的安排上，也有一些教師重點講解一元函數(shù)的相關內容，對于多元函數(shù)內容的講解只是輕描淡寫，簡單介紹一元與多元的相同與不同之處，從而學生對多元函數(shù)分析性質很難深入理解，更何況多元函數(shù)的圖像大部分很難用手畫出來，因此不能像一元函數(shù)那樣利用直觀圖來理解分析性質。

1.4枯燥無味，理論性過強，學生對課程產生厭煩心理

現(xiàn)在很多學生對學習數(shù)學的目的性不明確，并且一些學生的邏輯思維能力和推理能力較差，學習積極性不高。另外，數(shù)學分析的教學注重理論的完整性，知識的系統(tǒng)和推理的嚴謹性，具有高度的抽象性和邏輯性，而且教學過于強調對概念、定理、法則、公式的灌輸，不善于概括知識中所蘊涵的數(shù)學思想方法，從而導致學生學習起來往往有乏味之感。因此，各方面原因使得學生對數(shù)學分析這門課程產生了厭煩心理。

2改進措施

2. 1查漏補缺，補充高中教材刪去的知識

在數(shù)學分析教學過程中涉及到高中教材刪除的知識點時，教師要進行恰當?shù)难a充，實施查漏補缺，幫助學生順利完成初等數(shù)學到高等數(shù)學知識的過渡。如在講解第一章函數(shù)的內容時，應補講反三角函數(shù)的相關定義、性質、圖像及計算方法。在講第二章的函數(shù)極限求法時，可以補講三角函數(shù)的和差化積與積化和差公式，為了便于學生記住公式，可以順便介紹一下積化和差公式的順口溜:積化和差相加減，二分之一排在前，正余積化正弦加，余正積化正弦差，余弦積化余弦加，正弦積化負余差。在講解參數(shù)方程求導法則時補講參數(shù)方程。在講定積分的應用時把極坐標作為新課處理，講清楚極坐標的概念，以及極坐標與直角坐標系的轉換。

2. 2引伸提高，對重復內容的區(qū)別與提升

高中數(shù)學新課標的實施同時也將部分高等數(shù)學內容下放到中學教材中，從而導致在教學內容上有所重復。內容重復主要表現(xiàn)為:一種是二者的知識點基本相同，但中學教材對這些知識點的處理視角、討論的方法等都比較淺;另一種是知識點和講解深度基本相同。對不同的重復形式，教師在講解內容時要采取不同的處理方式。對于第一種情況，在數(shù)學分析教學中，應結合高中所學的知識點對這部分內容加以提升和補充。對同一內容，高中和大學的表述、名稱或符號等不一致的應重點突出，所以這部分重復內容可作為新課處理。對于第二種情況，教學時可以簡單地復習一下知識點，也可以忽略不講，這樣可以節(jié)省課時，使得在講授后面的教學難點時有充足的學時。如在高中新課標教材中把導數(shù)的應用作為重點講解，所以在數(shù)學分析教學中，這部分知識可以略講。

2. 3現(xiàn)代化教學手段與傳統(tǒng)教學手段有機結合，提高教學質量

多媒體教學是不同于傳統(tǒng)灌輸式的教學方式，它比較直觀生動，能夠增加學生的學習興趣，可以圖文并茂。如在講定積分的定義時，可以借助多媒體動態(tài)演示對積分區(qū)間劃分越來越細的過程，體現(xiàn)出積分的思想。又如在講解多元函數(shù)的分析性質時，可以利用Matlab, Mathematics等數(shù)學軟件畫出多元函數(shù)的圖像，學生通過圖像可以更直觀地看出并進一步理解函數(shù)的各種分析性質。然而，完全利用多媒體教學還存在很多的弊端，也不是我們所希望的。數(shù)學分析中的一些定理的證明、題目的演算推導過程等內容在黑板上演示效果會更好，從而，將現(xiàn)代化教學手段和傳統(tǒng)教學手段有機地結合在一起使用教學，會進一步提高教學效果。同時，在課堂教學過程中，要適當加重多元函數(shù)的教學份量，利用數(shù)學軟件畫出多元函數(shù)的圖像，結合圖形理解所研究函數(shù)的相關性質。

2. 4滲透數(shù)學思想，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)

在數(shù)學分析的課堂教學中，要注重數(shù)學思想和數(shù)學方法的講解，講清概念、定理等數(shù)學知識的產生和發(fā)展過程，要激發(fā)學生學習興趣.可以適當?shù)闹v解數(shù)學史知識，通過這種教學方式讓學生了解相關知識的由來，了解名人的科研探索精神，以及他們背后動人的故事。例如，講集合時，可以把集合論的創(chuàng)使人德國著名數(shù)學家康托爾(Cantor)的一些小故事講給學生;還有數(shù)學發(fā)展史上的三次數(shù)學危機、微積分的創(chuàng)立、費馬大定理、哥德巴赫猜想等，這些數(shù)學史中都包含很多有趣的故事.在講微分中值定理是，可以簡單介紹一下羅爾、拉格朗日、柯西、費馬等數(shù)學家的簡介以及他們對數(shù)學的貢獻。通過實踐發(fā)現(xiàn)，把相關數(shù)學史的內容穿插到數(shù)學分析課堂教學中，可以提高學生的學習興趣，同時也提高了學生的數(shù)學素養(yǎng)。

篇9

關鍵詞：教學特點 課程特點 學習方法

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）11（a）-0247-01

不管是文科學生還是理科學生，在剛入大學時都會遇到微積分的學習問題。下面，根據(jù)自身的學習經驗及教學經驗談一談微積分的學習。

1 微積分或數(shù)學分析的重要地位

微積分的發(fā)明與其說是數(shù)學史上，不如說是人類科學史上的一件大事。它是由牛頓和萊布尼茨各自獨立地創(chuàng)立的。多年來，微積分或數(shù)學分析一直被大學的所有理工類和經濟類專業(yè)列為一門重要的基礎課程。

2 微積分或數(shù)學分析的授課特點

作為基礎理論課的分析課，在大學的課程學習中，課堂教學是極其重要的，但是大學的數(shù)學課堂教學與中學數(shù)學的課堂教學相比，是有顯著的差別的，差別如下。

2.1 班級人數(shù)多

由于大學入學比例逐年增加，大學各專業(yè)人數(shù)激增，而老師人數(shù)相對固定，從而微積分的教學通常是多個班級合在一起學習，課堂人數(shù)較多，有時甚至達到150人一個班。由于人數(shù)多，教學任務重，通常老師也沒有時間讓同學們提問題，也沒有時間提問同學。再加上由于學生在高中基礎、學習水平、理解接受能力存在差異，從而老師授課時只能先照顧大多數(shù)，對于跟不上、聽不全懂的少數(shù)同學則無法細講、重復講。

2.2 教學進度快

微積分或數(shù)學分析的內容含有微分學和積分學兩大部分，在極限理論的基礎上建立了一元函數(shù)微分學和多元函數(shù)微分學以及一元函數(shù)積分學和多元函數(shù)的積分學，又建立了級數(shù)理論和解微分方程的理論，內容極其抽象且豐富，而學時與中學數(shù)學課相比又相對較少，一般要求兩個學期就要把微積分全部講授完畢，從而導致每次講授教材內容較多。另外在教學要求上，大學與中學相比也有很大的不同。大學授課特點是講重點、講難點、講疑點，講分析問題的思路，講解題的方法，例題講授講究以點帶面，要求少而精，而不是像中學上數(shù)學課那樣，教師通過列舉大量典型的例子來反復的講授某個定理。

3 課程特點

若想學好微積分，必須做到刻苦努力，認真鉆研，仔細體會，深刻領悟。

（1）基本概念（定義）的掌握不能似是而非、一知半解，而是必須讀懂，清楚，做到理解透徹、并能準確敘述?；靖拍钍菙?shù)學理論的基石，如果學生對基本概念不清楚，那么數(shù)學的理論就會學不懂，也無法掌握和運用。這就要求不僅要會背誦定義而且能用自己的話準確地表述一個概念，能做到這一點才是真正理解概念的表現(xiàn)。

（2）基本理論（性質與定理）都是由一些概念（定義）、性質與定理組成的，是數(shù)學推理論證的基礎，也是數(shù)學理論證明的核心。微積分中的有些理論非常抽象，對于初學者即使是理解起來都很困難，更別說證明了。從而在微積分的學習中，對于有些定理只要求初學者掌握定理的條件和結論，能做到熟悉定理并學會使用定理，而有些理論則必須牢記，比如中值定理等。

（3）通過做題來掌握數(shù)學的基本概念和基本理論，并能理論聯(lián)系實際將所學內容應用到實際生活中。微積分的學習沒有捷徑可走，在理解了微積分的概念、理論之后必須通過做題而且是做一定數(shù)量的題，來不斷加深對微積分概念和理論的理解。大家公認”不做題等于沒學數(shù)學”，若要逐步提高數(shù)學素養(yǎng)可以通過做題實現(xiàn)。

4 探討微積分或數(shù)學分析學習的重要環(huán)節(jié)

由以上內容，特提出學好微積分需要重視的幾個環(huán)節(jié)。

第一個是聽課，聽課要集中精力，在聽課之前預習的話，聽課會更有針對性。在聽課的過程中，做好筆記，“好記性不如爛筆頭”，邊聽邊記。聽課要抓住重點，認真領會老師對問題的分析思路，如果某些問題沒聽懂，這時千萬不要在這些問題上糾結而影響繼續(xù)聽課，此時可以把這些問題先放一放，在問題相應處作上記號，跟上老師教學思路。不懂的問題和有疑問的問題待課后復習時再解決。或自己思考鉆研，或與其他同學討論，或找老師提問，或看指導書等。

第二個環(huán)節(jié)是復習整理筆記，數(shù)學不像別的科目，一天不練就會生疏一些。當天的內容一定要當天復習，否則時間一長就容易忘記，要想再趕上就會比較吃力。復習可以在課下將教材和筆記結合起來進行，按自己的思路對筆記進行整理，整理每次課的內容，就是一個復習的過程。在整理筆記時，能用自己的話復述出當天學習的內容、重點、難點，并問問自己掌握了哪些，還有哪些問題不懂有疑問，解決方法等，通常復習時間與上課時間應相當并更多。

第三個環(huán)節(jié)是獨立完成作業(yè)。解題訓練是學好微積分的重要組成部分，習題是對教科書內容的擴充與拓展，演算習題是培養(yǎng)學生的理解能力、解題能力及探索能力的重要環(huán)節(jié)。要把微積分學好，及時認真地完成作業(yè)是一個必不可少的學習環(huán)節(jié)。每次的作業(yè)最好在當天完成，但是應該在復習完當天的內容之后進行。切忌邊翻書邊看例題，照貓畫虎式地完成作業(yè)，這樣做是收不到任何效果的。切忌抄襲，盡量不先看書后的答案。做作業(yè)不僅是檢驗學習效果的手段，同時也是培養(yǎng)、提高綜合分析問題的能力、筆頭表達的能力以及計算能力的重要手段。認真完成作業(yè)是培養(yǎng)同學們嚴謹治學的一個環(huán)節(jié)。因此，要求作業(yè)“字跡工整、繪圖準確、條理清楚、論據(jù)充分”。

第四個環(huán)節(jié)是階段總結。在學完一節(jié)或一章或幾章之后，應當對學過的知識進行歸納和總結，將當前學到的內容整理歸類，有利于知識記憶的條理化和系統(tǒng)化。這樣也有利于從宏觀上、整體上對知識的掌握?？偨Y應包括一章中的基本概念，基本理論，重難點;本章解決了什么問題，解決方法;提出了哪些重要理論和結論，解決問題的思路。條理要理清楚，同時歸納出重難點與主要內容以及自己對問題的認識和掌握情況。

總而言之，微積分的學習并不難，只要掌握住微積分課程的特點，按照上述建議去學習，再將學習到的知識應用于實踐中，比如參加數(shù)學建模等，既強化了對知識的認識，又增加了學習的樂趣。

參考文獻

篇10

1微分學原理、方法在中學數(shù)學中的應用

在中學數(shù)學中,要作出函數(shù)的圖形,除了利用極易判斷出來的函數(shù)的單調性以及可明顯看出的一些極值點等性質外,最主要的還是依靠描點法作函數(shù)的圖形，如此作出的圖形究竟是不是該函數(shù)的真正圖形是無法肯定的。而在數(shù)學分析中，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性、凹凸性,求出極值點和拐點,再利用極限求漸近線，就能精確地畫出函數(shù)的草圖,所以可用微分學原理和方法指導中學數(shù)學教學。

(1)討論函數(shù)的單調性中學數(shù)學討論函數(shù)的單調性一般只能根據(jù)定義,計算很繁瑣,對某些函數(shù)甚至無法判別,而根據(jù)微分學中嚴格單調的充分條件的定理“若/\對乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),則函數(shù)f(X在(a,b內嚴格增加或嚴格減少)?！眲t可使解法簡化,并能使問題得以深化和拓展。

(2證明不等式。不等式在中學數(shù)學中占據(jù)著重要地位,這體現(xiàn)于它在解方程（如解不定方程、三角方程、對數(shù)方程等)和有關函數(shù)的問題、三角證明題、極值、條件極值、幾何證明題等諸方面的應用。不等式的證明方法多種多樣,沒有一個統(tǒng)一的模式。初等數(shù)學常用的方法是恒等變形、數(shù)學歸納法、利用二次型、使用重要不等式,其中進行巧妙的恒等變形,形成非負的項或者湊成可利用的重要不等式洳Vb等)是極有生命力和創(chuàng)造力的方法,但這里往往要有較高的技巧。利用微分中值定理、函數(shù)的單調性、定積分的性質等有關知識,可使不等式的證明過程大大簡化。

2積分法原理和方法在中學數(shù)學中的應用

積分學是由不定積分和定積分兩部分組成，不定積分是從逆運算的角度把積分看作微分的逆運算而定義的。而定積分是從極限的角度把定積分看作是特殊類型的極限加以定義的,這兩類積分從定義形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微積分基本定理揭示了它們的內在聯(lián)系，使得求一個和式極限這個相當困難的定積分問題轉化為通過求不定積分來加以解決,從而使兩者成為不可分割的整體,在理論和應用上取得了長足的發(fā)展。單從數(shù)學分析來看,定積分不僅對求面積、弧長、體積、近似計算等問題十分有用,而且與數(shù)學分析的另-組成部分--級數(shù)之間建立了聯(lián)系。

定積分除具有具體應用的優(yōu)勢外，更具有方法上的指導意義。在中學數(shù)學中，對一些規(guī)則平面圖形或空間立體的面積、體積和表面積給出計算的公式,但其中相當一部分公式無法給出推導的方法，在研究體積計算問題時常用的一個重要定理--祖暅定理也只能當作公理介紹，并由它以及長方體的體積公式推出柱、錐、臺、球等體積公式。而在數(shù)學分析中,有關面積、體積的計算完全可利用積分或重積分精確地計算出來,祖WS定理、柱、錐、臺、球等體積公式只須用定積分的定義便可簡捷地給出證明。中學數(shù)學教師有了數(shù)學分析作為工具,在遇到有關面積、體積的計算問題時,可先用數(shù)學分析的方法求出解答,這為選擇適當?shù)慕虒W方法指明了方向。

3級數(shù)理論在中學數(shù)學中的應用

級數(shù)理論同樣是數(shù)學分析中的一個重要內容，利用函數(shù)的級數(shù)展開式可進行近似計算，中學數(shù)學用表中的三角函數(shù)表、常用對數(shù)表等均是利用級數(shù)理論求出其近似值來制作。中學教師具備了這些知識后，在日常教學中就不但能教學生如何查表,還可說明造表的理論依據(jù),激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。另外,還可用于講一些常數(shù)如數(shù)e,數(shù)+)的超越性等,為開展中學數(shù)學課外活動提供素材。